📂동역학

피츠휴-나구모 모델

모델 ¹

패스트-슬로우 시스템으로써의 호지킨-헉슬리 모델에서 핵심적인 요소만 가져와서 패스트 $v$ 와 슬로우 $w$ 에 대한 2차원 미분방정식으로 단순화한 모델을 피츠휴-나구모 모델^{FitzHugh–Nagumo model}이라 한다. $$ \begin{align*} \epsilon \dot{v} =& v ( 1 - v ) (v - \alpha) - w + I_{\text{app}} \\ \dot{w} =& v - \gamma w \end{align*} $$ 전형적인 파라미터 세팅은 $\alpha = 0.1$, $\gamma = 0.5$, $\epsilon = 0.01$ 이라고 한다.

설명 ²

호지킨-헉슬리 모델: $$ \begin{align*} C_{m} \dot{V} =& - \bar{g}_{\text{Na}} m^{3} h \left( V - V_{\text{Na}} \right) - \bar{g}_{\text{K}} n^{4} \left( V - V_{\text{K}} \right) - \bar{g}_{\text{L}} \left( V - V_{\text{L}} \right) + I_{\text{app}} \\ \dot{m} =& \alpha_{m} (1 - m) - \beta_{m} m \\ \dot{n} =& \alpha_{n} (1 - n) - \beta_{n} n \\ \dot{h} =& \alpha_{h} (1 - h) - \beta_{h} h \end{align*} $$

호지킨-헉실리 모델에서 $m$ 을 어떤 상수 $m_{0}$ 로 두고 $h + n \approx 0.8$ 이라는 관계에서 $h = 0.8 - n$ 으로 두면 다음과 같이 단순화된다. $$ \begin{align*} - C_{m} \dot{V} =& \bar{g}_{\text{Na}} m_{0}^{3} (0.8 - n) \left( V - V_{\text{Na}} \right) + \bar{g}_{\text{K}} n^{4} \left( V - V_{\text{K}} \right) + \bar{g}_{\text{L}} \left( V - V_{\text{L}} \right) - I_{\text{app}} \\ \dot{n} =& \alpha_{n} (1 - n) - \beta_{n} n \end{align*} $$

이 때 $I_{\text{app}} = 50$ 으로 전류를 인가하고 페이즈 플레인과 $V$ 의 타임에볼루션을 보면 $V$ 가 급격하게 변하는, 전형적인 패스트-슬로우 시스템의 다이내믹스를 보여주고 있음을 확인할 수 있다. 한편 이와 정확히 같은 항을 가지고 있지는 않지만 피츠휴-나구모 모델의 페이즈 플레인과 $v$ 의 타임에볼루션을 보면 다음과 같다.

이는 피츠휴-나구모 모델이 호지킨-헉슬리 모델에서 유래되어 간략화되었으나 그 핵심적인 다이내믹스는 잘 유지하고 있음을 보여준다.