📂양자역학

무한 퍼텐셜 우물에 대한 파동함수와 에너지

명제

퍼텐셜이 구간 $[0, a]$ 위에서 무한한 우물과 같은 형태일 때, 파동함수의 에너지(고유값) $E_{n}$과 파동함수(고유 상태) $\psi_{n}$은 다음과 같다.

$$\begin{align*} E_{n} &=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2ma^{2}} \\[1em] \psi_{n}{(x)} &= \textstyle \sqrt{\frac{2}{a}}\sin \left( \frac{n\pi}{a}x \right) \end{align*} \qquad\qquad n = 0, 1, 2, \dots \tag{0}$$

설명

$$V(x) = \begin{cases} \infty, & -\infty \lt x \lt 0 \\ 0, & 0 \lt x \lt a \\ \infty, & a \lt x \lt \infty \end{cases}$$

위와 같은 꼴의 퍼텐셜 $U$를 무한 퍼텐셜 우물^{infinite potential well}이라 한다. 이 시스템은 입자가 특정한 구간을 절대 벗어날 수 없는 상황을 묘사하는 모델이며, 상자 속 입자 모델^{particle in a box model}이라고도 한다. 아주 단순한 모델이지만 고전역학에서의 결과와 크게 다른 모습을 보여주는 중요한 예시이다. 고전역학에서는 입자가 발견된 위치가 구간 내에서 모두 동일하지만, 양자역학에서는 위치에 따라 입자가 발견될 확률이 다르게 나타난다.

파동함수 중에서 에너지 준위($=n$)가 가장 낮은 상태를 바닥 상태^{ground state} 라 한다. 바닥상태가 아닌 상태는 들뜬 상태^{excited state}라 한다.

$$\begin{align*} \text{ground state: } & \textstyle \psi_{1}(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left( \frac{\pi}{a}x \right) \\[1em] \text{first excited state: } & \textstyle \psi_2(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left( \frac{2\pi}{a}x \right) \\[1em] \text{second excited state: } & \textstyle \psi_{3}(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left( \frac{3\pi}{a}x \right) \\ \vdots \end{align*}$$

파동함수는 어떤 임의의 에너지를 가질 수 있는 것이 아니라, 식 $(0)$에서 나타나는 형태의 에너지만 가질 수 있다. 에너지는 $n^{2}$에 비례하므로, 연속적인 값이 아닌 이산적인 형태로 나타난다. 이를 양자화 ^quantization되어있다고 한다.

유도

시간에 무관한 1차원 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

$$\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{ d ^{2} }{ d x^{2} }+V(x)\right)\psi(x) = E\psi(x)$$

$$V(x) = \begin{cases} \infty, & -\infty \lt x \lt 0 \\ 0, & 0 \lt x \lt a \\ \infty, & a \lt x \lt \infty \end{cases}$$

$E \lt 0$

퍼텐셜이 항상 $0$보다 크거나 같으므로 에너지가 음일 때는 파동함수가 존재하지 않는다.

$E \gt 0$

[1] $|x| \gt a$에 대해서

이 구간에서는 $0 \lt E \lt V = \infty$이므로, $\psi(x) = 0$이다.

[2] $0 \lt x \lt a$에 대해서

구간 $[0, a]$에서 퍼텐셜은 $V = 0$이고, 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

$$\frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} + \frac{2m}{\hbar^{2}}E\psi=0$$

$E$가 양수이므로 $\dfrac{2m}{\hbar^{2}}E$도 양수이고, 따라서 이를 $k^{2}$이라고 하자. 그러면 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

$$\frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} + k^{2}\psi = 0$$

이 미분방정식의 해는 다음과 같다.

$$\psi(x) = A\sin kx + B\cos kx$$

[3] 경계조건

파동함수 $\psi$는 연속이므로, [1]에서 구한 함숫값과 [2]에서 구한 함숫값이 경계에서 일치해야한다. 즉 $x = 0$일 때, 다음이 성립해야한다.

$$0 = \psi (0) = A\sin 0 + B\cos 0 = B \implies B=0$$

경계조건은 $x = a$일 때도 성립해야하므로,

$$0 = \psi (a) = A\sin ka \qquad (\because B = 0) \tag{1}$$

사인함수는 정수 $n$에 대해서 $\sin n\pi = 0$이므로 모든 정수 $n$에 대해서 해가 존재하고, $(2)$로부터 다음을 얻는다.

$$A \sin ka = 0 \implies ka = n\pi \implies k = \frac{n\pi}{a} \tag{2}$$

$$\implies \psi_{n}(x) = \textstyle A\sin \left( \frac{n\pi}{a}x \right)$$

파동함수는 제곱적분하여 $1$이 되어야하므로,

$$\begin{align*} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \psi_{n}^{\ast} \psi_{n} dx = 1 &= \int_{0}^{a}\textstyle |A|^{2} \sin^{2} \frac{n\pi}{a}x dx \\ &= |A|^{2} \int_{0}^{a}\textstyle \frac{1}{2}(1-\cos \frac{2n\pi}{a}x)dx \\ &= |A|^{2}\textstyle \frac{1}{2} \left[x-\frac{a}{2n\pi}\sin \frac{2n\pi}{a}x\right]_{0}^a \\ &= |A|^{2}\textstyle \frac{a}{2} \end{align*}$$

$$\implies |A|^{2} = \frac{2}{a} \implies A = \sqrt{\frac{2}{a}} \tag{3}$$

세번째 등호에서는 반각공식이 사용되었다. 따라서 파동함수는 다음과 같다.

$$\psi_{n}(x)= \textstyle \sqrt{\frac{2}{a}}\sin \left( \frac{n\pi}{a}x \right)$$

또한 위에서 $\dfrac{2m}{\hbar^{2}}E=k^{2}$라고 했으므로, 파동함수^고유함수 $\psi_{n}$에 대응되는 에너지^고유값 $E_{n}$은 다음과 같다.

$$E_{n} = \frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m} = \frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2ma^{2}}$$

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