📂동역학

대칭성을 가진 동역학계의 F-사이클과 S-사이클

정의 ¹

$I$ 가 항등행렬이라 하자. 동역학계 $\dot{v} = f(v)$ 가 대칭성을 가지는, 다시 말해 어떤 $R \ne I$ 에 대해 다음의 조건을 만족시킨다고 하자. $$ \begin{align*} R f(v) =& f (R v) \\ R^{2} =& I \end{align*} $$

이에 대해 주기해와 리미트 사이클에 대한 고정과 대칭을 다음과 같이 정의한다:

1. $\dot{v} = f(v)$ 의 주기해 $v (t)$ 가 모든 $t$ 에 대해 $R x (t) = x (t)$ 면 고정^fixed이라 한다. 고정 주기해에 해당하는 리미트사이클을 F-사이클^F-cycle이라 한다.
2. $\dot{v} = f(v)$ 의 주기해 $v (t)$ 가 모든 $t$ 에 대해 가장 작은 주기 $T$ 에 대해 다음을 만족하면 대칭^symmetric이라 한다. $$ R x (t) = x \left( t + {\frac{ T }{ 2 }} \right) $$ 대칭 주기해에 해당하는 리미트사이클을 S-사이클^S-cycle이라 한다.

설명 ²

S-사이클의 정의에서, 당연하게도 $R^{2} x = I x = x = x (t + T)$ 인 것은 쉽게 확인할 수 있다. 형식적으로 F-사이클이 $R$ 이라고 하는 대칭변환에 대한 고정점이라 말한다면, S-사이클은 시간 $t$ 에 대해서도 대칭성을 가지는, 그야말로 대칭이라는 이름에 걸맞는 리미트사이클이라 할 수 있겠다.

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