📂동역학

동역학에서 리미트사이클의 바이퍼케이션

정의 ¹

유클리드 공간 $\mathbb{R}^{n}$ 와 오픈 셋 $U \subset \mathbb{R}^{n}$ 에서 연속인 함수 $f : U \to \mathbb{R}^{n}$ 에 대해 다음과 같은 벡터필드가 미분 방정식으로 주어져 있다고 하자. $$ \dot{x} = f(x) $$ 이 시스템의 리미트 사이클 $L_{0}$ 이 가로지르는 $\left( n-1 \right)$차원 곡면 $\Sigma$ 에서 정의된 푸앙카레 맵을 $P : \Sigma \to \Sigma$ 이라 두고, $L_{0}$ 과 $\Sigma$ 의 교집합에 있는 점 $\xi_{0}$ 가 맵 $P_{\alpha}$ 의 고정점, 즉 $P \left( \xi_{0} \right) = \xi_{0}$ 을 만족시킨다고 하자. 바이퍼케이션 파라미터 $\alpha$ 에 따라 $\xi_{0}$ 가 겪는 바이퍼케이션을 리미트사이클 $L$ 의 바이퍼케이션이라 한다.

설명

즉, 원래 리미트사이클의 바이퍼케이션은 푸앙카레 맵의 고정점의 바이퍼케이션이다. 이는 리미트사이클의 쌍곡성을 정의하는 것과 유사하며, 결과적으로 바이퍼케이션이라는 개념을 자연스럽게 확장한 것으로 볼 수 있다. 실제로 대부분의 바이퍼케이션 다이어그램은 푸앵카레 섹션에 찍히는 점, 예컨대 한 축의 극값을 모아둔 것이므로 아주 직관적인 정의라 할 수 있다.

새들-노드 바이퍼케이션

새들-노드 바이퍼케이션처럼, 두 개의 안정적인 리미트사이클이 만나서 사라진다.

피리어드 더블링 바이퍼케이션

피리어드 더블링 바이퍼케이션처럼, 주기가 두 배로 늘어나는 리미트사이클이 나타난다.

네이막-삭커 바이퍼케이션

네이막-삭커 바이퍼케이션처럼, 리미트사이클의 모든 점마다 새로운 리미트사이클이 나타나서 토러스와 호메오멀픽한 매니폴드가 생겨난다. 위 그림은 특히 슈퍼크리티컬 네이막-삭커 바이퍼케이션이기 때문에 이와 같은 현상이 일어난다.