📂동역학

하트만-그로브만 정리

정의 ¹

클래스 $C^{r} \left( \mathbb{R}^{n} \right)$ 에 속하는 $f$ 에 대해 벡터필드 $\dot{x} = f(x)$ 가 고정점 $x_{0}$ 을 가지며, $f$ 의 자코비안 $Df \left( x_{0} \right)$ 의 고유값이 모두 실수부가 0이 아니라서 하이퍼볼릭하다고 하자. 그러면 $\dot{\xi} = Df \left( x_{0} \right) \xi$ 는 원래 벡터필드의 선형화된 벡터필드다. $\dot{x} = f(x)$ 으로부터 만들어진 플로우는 $x = x_{0}$ 의 근방에서 $\dot{\xi} = Df \left( x_{0} \right) \xi$ 으로부터 만들어진 플로우와 $C^{0}$-켤레다.

설명

$$ h \left( \phi (t , x) \right) = \psi \left( \alpha (t, x), h(x) \right) $$ 두 플로우 $\phi$ 와 $\psi$ 에 대한 클래스 켤레의 정의는 대략 위를 만족시키는 호메오멀피즘 $h \in C^{0}$ 가 존재한다는 것이므로, 하트만-그로브만 정리^{Hartman-Grobman theorem}가 말하는 것은 사실상 ‘하이퍼볼릭 고정점 근방에서 원래 벡터필드와 선형화된 벡터필드가 아주 유사하다’라는 의미가 된다. 아주 유사하다는 것은 위상적으로는 그냥 같다는 말이니 대단히 중요한 내용이다.