📂동역학

동역학계 간 클래스 동치와 켤레의 정의

정의 ¹

두 동역학계가 $f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$ 와 $g : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$ 에 대해 다음과 같은 벡터필드로 표현된다고 하자. $$ \begin{align*} \dot{x} =& f(x) \\ \dot{y} =& g(y) \end{align*} $$ $f$ 와 $g$ 는 $r$번 미분가능하고 그 도함수가 연속인 클래스 $C^{r}$ 에 속하고, 이하 $k \le r$ 이라 하겠다. $f$ 와 $g$ 에서 각각 얻은 플로우 $\phi$ 와 $\psi$ 에 대해 어떤 디피오멀피즘 $h \in C^{k}$ 가 존재해서 어떤 매개변수화^{parametrization} $\alpha$ 에 대해 다음을 만족하면 $f$ 와 $g$ 가 $C^{k}$-동치^{$C^{k}$-equivalent}라 한다. $$ h \left( \phi (t , x) \right) = \psi \left( \alpha (t, x), h(x) \right) $$ 만약 $h \in C^{k}$ 가 존재하고 시간 $t$ 까지 보존되어 다음을 만족하면 $f$ 와 $g$ 가 $C^{k}$-켤레^{$C^{k}$-conjugate}라 한다. $$ h \left( \phi (t , x) \right) = \psi \left( t, h(x) \right) $$

정리

시스템의 고정점과 주기해에 대해 다음과 같은 정리가 알려져 있다.

$f$ 와 $g$ 가 $C^{k}$-켤레면 다음이 성립한다.

• $f$ 의 고정점은 $g$ 의 고정점으로 대응된다.
• $f$ 의 주기해는 $g$ 의 주기해로 대응된다.

$f$ 와 $g$ 가 $C^{k}$-동치면 다음이 성립한다.

• $f$ 의 고정점은 $g$ 의 고정점으로 대응된다.
• $f$ 의 주기해는 $g$ 의 주기해로 대응된다. 단, 주기는 다를 수 있다.

설명

정의 자체야 맵에서 정의되는 컨쥬게이트와 동역학계 간 위상적 동치에서 보던 것들의 반복이라 할 수 있다.

기본적으로 클래스 켤레는 일반적인 위상적 켤레와 유사하나, 위상적 켤레가 호메오멀피즘만을 요구하는 반면 클래스 켤레는 미분가능성까지 생각한다는 점이 다르다. 동치와 켤레의 차이는 시간을 지키느냐 지키지 않느냐, 쉽게 말해 벡터필드가 가지는 속도의 차이라고 보아도 무방하다. 동치라는 것은 겉보기에 모습만 비슷해도 괜찮지만, 켤레라는 것은 모습만 비슷할뿐만 아니라 주기성을 비롯한 행동^behavior까지도 유사해야 한다.

같이보기

• 하트만-그로브만 정리