📂동역학

동역학계의 대칭성

정의 ^{1 2}

$I$ 를 항등행렬이라 하자. 정방행렬 $R \ne I$ 에 대해 벡터필드 $\dot{v} = f(v)$ 가 다음을 만족하면 이 동역학계가 대칭성^symmetry을 가진다고 한다. $$ \begin{align*} R f(v) =& f (R v) \\ R^{2} =& I \end{align*} $$ 이 때 $R : v \mapsto Rv$ 를 대칭변환^{symmetry transformation}이라 한다.

설명

정의만 보아서는 $R$ 에 대한 구체적인 형태가 떠오르지 않겠지만, 쉽게 말해서 변수의 순서를 바꾸거나 부호를 반전시켜도 원래의 방정식이 유지가 되면 된다. 가장 친숙한 예로써 로렌츠 어트랙터를 생각해보자.

$$ \begin{align*} \dot{x} =& - \sigma x + \sigma y \\ \dot{y} =& - xz + \rho x - y \\ \dot{z} =& xy - \beta z \end{align*} $$

여기서 대각행렬 $\diag \left( -1, -1, 1 \right)$ 이 존재해서 $R : (x, y, z) \mapsto (-x, -y, z)$ 라고 정의하면 $R f(v)$ 와 $f(R v)$ 는 다음과 같다. $$ \begin{align*} R \begin{bmatrix} - \sigma x + \sigma y \\ - xz + \rho x - y \\ xy - \beta z \end{bmatrix} =& f \begin{pmatrix} -x \\ -y \\ z \end{pmatrix} \\ \implies \begin{bmatrix} \sigma x - \sigma y \\ xz - \rho x + y \\ xy - \beta z \end{bmatrix} =& \begin{bmatrix} \sigma x - \sigma y \\ xz - \rho x + y \\ xy - \beta z \end{bmatrix} \end{align*} $$

쉽게 말해 $R$ 은 대각성분으로써 $1$ 혹은 $-1$ 를 가지거나, 간혹 순열이 곱해져 있을 수도 있다. 정의에서 $R = I$ 인 경우를 배제하는 이유는 당연히 $R = I$ 를 허용할 경우 모든 시스템이 대칭성을 가진다고 할 수 있기 때문이다.

변수의 순서에 무관한 대칭성을 순환대칭성^{cyclic symmetry}이라 하고, 그 예가 되는 시스템으로는 로렌츠 96 시스템이나 토마스 어트랙터 등이 있다.