📂동역학

동역학에서 스프랏 시스템들

시스템 ¹

스프랏 시스템^{Sprott systems}이란 다음과 같은 19가지 3차원 동역학계들을 말한다.

A

$$ \begin{align*} \dot{x} =& y \\ \dot{y} =& - x + yz \\ \dot{z} =& 1 - y^{2} \end{align*} $$

B

$$ \begin{align*} \dot{x} =& y z \\ \dot{y} =& x - y \\ \dot{z} =& 1 - x y \end{align*} $$

C

$$ \begin{align*} \dot{x} =& y z \\ \dot{y} =& x - y \\ \dot{z} =& 1 - x^{2} \end{align*} $$

D

$$ \begin{align*} \dot{x} =& - y \\ \dot{y} =& x + z \\ \dot{z} =& x z + 3 y^{2} \end{align*} $$

E

$$ \begin{align*} \dot{x} =& y z \\ \dot{y} =& x^{2} - y \\ \dot{z} =& 1 - 4 x \end{align*} $$

F

$$ \begin{align*} \dot{x} =& y + z \\ \dot{y} =& - x + 0.5 y \\ \dot{z} =& x^{2} - z \end{align*} $$

G

$$ \begin{align*} \dot{x} =& 0.4 x + z \\ \dot{y} =& x z - y \\ \dot{z} =& - x + y \end{align*} $$

H

$$ \begin{align*} \dot{x} =& - y + z^{2} \\ \dot{y} =& x + 0.5 y \\ \dot{z} =& x - z \end{align*} $$

I

$$ \begin{align*} \dot{x} =& - 0.2 y \\ \dot{y} =& x + z \\ \dot{z} =& x + y^{2} - z \end{align*} $$

J

$$ \begin{align*} \dot{x} =& 2 z \\ \dot{y} =& - 2 y + z \\ \dot{z} =& - x + y + y^{2} \end{align*} $$

K

$$ \begin{align*} \dot{x} =& x y - z \\ \dot{y} =& x - y \\ \dot{z} =& x + 0.3 z \end{align*} $$

L

$$ \begin{align*} \dot{x} =& y + 3.9 z \\ \dot{y} =& 0.9 x^{2} - y \\ \dot{z} =& 1 - x \end{align*} $$

M

$$ \begin{align*} \dot{x} =& - z \\ \dot{y} =& - x^{2} - y \\ \dot{z} =& 1.7 + 1.7 x + y \end{align*} $$

N

$$ \begin{align*} \dot{x} =& - 2 y \\ \dot{y} =& x + z^{2} \\ \dot{z} =& 1 + y - 2 z \end{align*} $$

O

$$ \begin{align*} \dot{x} =& y \\ \dot{y} =& x - z \\ \dot{z} =& x + x z + 2.7 y \end{align*} $$

P

$$ \begin{align*} \dot{x} =& 2.7 y + z \\ \dot{y} =& - x + y^{2} \\ \dot{z} =& x + y \end{align*} $$

Q

$$ \begin{align*} \dot{x} =& - z \\ \dot{y} =& x - y \\ \dot{z} =& 3.1 x + y^{2} + 0.5 z \end{align*} $$

R

$$ \begin{align*} \dot{x} =& 0.9 - y \\ \dot{y} =& 0.4 + z \\ \dot{z} =& x y - z \end{align*} $$

S

$$ \begin{align*} \dot{x} =& - x - 4 y \\ \dot{y} =& x + z^{2} \\ \dot{z} =& 1 + x \end{align*} $$

설명

스프랏 시스템들은 모두 혼돈을 보이는 시스템들인데, 대수적으로 무척 간단하다는 특징이 있다. 이들은 극단적으로는 비선형 항을 하나만 가지고 있기도 하고, 그 비선형 항조차 고자해봐야 2차항에 불과하다. 예로써 스프랏-F 같은 경우는 $x^{2}$ 하나밖에 없음에도 혼돈을 보인다.

참고로 스프랏-A는 고정점을 가지지 않는다는 특징이 있다. 그 외에는 각각의 시스템마다 고유한 성질들이 부각되지는 않지만, 19가지 시스템 이 한 묶음이 되어서는 벤치마크 등에 사용되기도 한다².