정규행렬의 정의
📂행렬대수정규행렬의 정의
정의
정방행렬 A∈Cn×n 이 다음을 만족하면 정규행렬normal matrix이라 한다.
AA∗=A∗A
여기서 X∗ 는 행렬 X 의 켤레전치행렬이다.
성질
A 가 정방행렬이라고 하자. 삼각행렬 A 가 정규행렬인 것과 필요충분조건은 A 가 대각행렬인 것이다:
AA∗=A∗A⟺(A)ij=0,∀i=j
증명
- On 은 (n×n) 사이즈의 영행렬이다. 아래첨자가 생략된 경우는 행렬 내부의 크기에 맞춘다.
- zˉ 는 복소수 z 의 켤레복소수다.
(⟹)
수학적귀납법을 사용해서 증명한다. 일반성을 잃지 않고, A∈Cn×n 가 상삼각행렬인 경우에 대해서만 고려하자.
n=1 이면 자명하게 성립하고, n=2 이면 상삼각행렬
A=[a0bc]
에 대해
====O2AA∗−A∗A[a0bc][aˉbˉ0cˉ]−[aˉbˉ0cˉ][a0bc][∣a∣2+∣b∣2cbˉbc∣c∣2]−[∣a∣2abˉaˉb∣b∣2+∣c∣2][∣b∣2bˉ(c−a)b(c−aˉ)−∣b∣2]
이므로 b=0 이어야 한다. 다시 말해, A 는 대각행렬이다. 이제
AA∗=A∗A⟹(A)ij=0,∀i=j
이 A∈C(n−1)×(n−1) 에 대해 성립한다고 가정하자. 두 행렬 B∈R1×(n−1) 과 C∈C(n−1)×(n−1) 을 통해 블럭행렬로 나타낸
A=[aOBC]
에 대해
====OnAA∗−A∗A[aOBC][aˉB∗OC∗]−[aˉB∗OC∗][aOBC][∣a∣2+BB∗CB∗BCCC∗]−[∣a∣2aB∗aˉBB∗B+C∗C][BB∗CB∗−aB∗BC−aˉBCC∗−C∗C−B∗B]
이고, BB∗=∑k=1n−1(B1k)2∈C1×1 가 0 이라는 것은 B 의 모든 성분이 0 이라는 것이다. 한편 CC∗−C∗C=On−1 역시 성립해야 하므로 C 는 정규 행렬이고, 따라서 C 역시 대각행렬이어야 한다. 결론적으로 다음과 같이 정의된 행렬 A 는 대각행렬이다.
A=[aOBC]=[aOO∗C]
(⟸)
A 가 대각행렬이면 k=1,⋯,n 에 대해 다음이 자명하게 성립한다.
(AA∗)kk=(A)kk2=(A∗A)kk
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