📂행렬대수

정규행렬의 정의

정의

정방행렬 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 이 다음을 만족하면 정규행렬^{normal matrix}이라 한다. $$ A A^{\ast} = A^{\ast} A $$ 여기서 $X^{\ast}$ 는 행렬 $X$ 의 켤레전치행렬이다.

설명

이를 작용소로 일반화한 것이 정규작용소이다.

• 대각행렬이면, 정규행렬이다.
• 에르미트행렬이면, 정규행렬이다.
• 반에르미트행렬이면, 정규행렬이다.
• 유니터리행렬이면, 정규행렬이다.

위의 사실을 보이는 것은 어렵지 않다. 역은 성립하지 않는데, 예를 들어 아래의 두 행렬은 정규행렬이지만, 위의 네가지 경우 중 아무것도 만족하지 않는다.

$$ A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1+i & 1 \\ -1 & 1+i \end{bmatrix} $$

성질

$A$ 가 정방행렬이라고 하자.

(a) 삼각행렬 $A$가 정규행렬인 것과 필요충분조건은 $A$가 대각행렬인 것이다: $$ A A^{\ast} = A^{\ast} A \iff \left( A \right)_{ij} = 0 , \forall i \ne j $$

(b) $A$가 정규행렬이면, 대각화 가능하다.

(c) $A$가 정규행렬인 것의 필요충분조건은 $A$가 유니터리 대각화 가능한 것이다. $$ A A^{\ast} = A^{\ast} A \iff A = Q \Lambda Q^{\ast} $$

증명

(a)¹

• $O_{n}$ 은 $\left( n \times n \right)$ 사이즈의 영행렬이다. 아래첨자가 생략된 경우는 행렬 내부의 크기에 맞춘다.
• $\bar{z}$ 는 복소수 $z$ 의 켤레복소수다.

$(\implies)$

수학적귀납법을 사용해서 증명한다. 일반성을 잃지 않고, $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 가 상삼각행렬인 경우에 대해서만 고려하자.

$n = 1$ 이면 자명하게 성립하고, $n = 2$ 이면 상삼각행렬 $$ A = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix} $$ 에 대해 $$ \begin{align*} & O_{2} \\ =& A A^{\ast} - A^{\ast} A \\ =& \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bar{a} & 0 \\ \bar{b} & \bar{c} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \bar{a} & 0 \\ \bar{b} & \bar{c} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} |a|^{2} + |b|^{2} & bc \\ c \bar{b} & |c|^{2} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} |a|^{2} & \bar{a} b \\ a \bar{b} & |b|^{2} + |c|^{2} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} |b|^{2} & b \left( c - \bar{a} \right) \\ \bar{b} \left( c - a \right) & - |b|^{2} \end{bmatrix} \end{align*} $$ 이므로 $b = 0$ 이어야 한다. 다시 말해, $A$ 는 대각행렬이다. 이제 $$ A A^{\ast} = A^{\ast} A \implies \left( A \right)_{ij} = 0 , \forall i \ne j $$ 이 $A \in \mathbb{C}^{(n-1) \times (n-1)}$ 에 대해 성립한다고 가정하자. 두 행렬 $B \in \mathbb{R}^{1 \times (n-1)}$ 과 $C \in \mathbb{C}^{(n-1) \times (n-1)}$ 을 통해 블럭행렬로 나타낸 $$ A = \begin{bmatrix} a & B \\ O & C \end{bmatrix} $$ 에 대해 $$ \begin{align*} & O_{n} \\ =& A A^{\ast} - A^{\ast} A \\ =& \begin{bmatrix} a & B \\ O & C \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bar{a} & O \\ B^{\ast} & C^{\ast} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \bar{a} & O \\ B^{\ast} & C^{\ast} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & B \\ O & C \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} |a|^{2} + B B^{\ast} & B C \\ C B^{\ast} & C C^{\ast} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} |a|^{2} & \bar{a} B \\ a B^{\ast} & B^{\ast} B + C^{\ast} C \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} B B^{\ast} & B C - \bar{a} B \\ C B^{\ast} - a B^{\ast} & C C^{\ast} - C^{\ast} C - B^{\ast} B \end{bmatrix} \end{align*} $$ 이고, $B B^{\ast} = \sum_{k=1}^{n-1} \left( B_{1k} \right)^{2} \in \mathbb{C}^{1 \times 1}$ 가 $0$ 이라는 것은 $B$ 의 모든 성분이 $0$ 이라는 것이다. 한편 $C C^{\ast} - C^{\ast} C = O_{n-1}$ 역시 성립해야 하므로 $C$ 는 정규 행렬이고, 따라서 $C$ 역시 대각행렬이어야 한다. 결론적으로 다음과 같이 정의된 행렬 $A$ 는 대각행렬이다. $$ A = \begin{bmatrix} a & B \\ O & C \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & O^{\ast} \\ O & C \end{bmatrix} $$

$(\impliedby)$

$A$ 가 대각행렬이면 $k = 1 , \cdots , n$ 에 대해 다음이 자명하게 성립한다. $$ \left( A A^{\ast} \right)_{kk} = \left( A \right)_{kk}^{2} = \left( A^{\ast} A \right)_{kk} $$

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(b)

$A \in M_{n}(\mathbb{C})$가 정규행렬이라 하자. 슈어 정리에 의해, $A$는 유니터리행렬 $U$와 삼각행렬 $T$에 대해서 아래와 같은 분해된다.

$$ A = U^{\ast} T U \tag{1} $$

$AA^{\ast}$와 $A^{\ast}A$를 구해보면 아래와 같다.

$$ \begin{align*} AA^{\ast} &= \left( U^{\ast}TU \right) \left( U^{\ast}T^{\ast}U \right) = U^{\ast} TT^{\ast} U \\ A^{\ast}A &= \left( U^{\ast}T^{\ast}U \right) \left( U^{\ast}TU \right) = U^{\ast} T^{\ast} T U \end{align*} $$

$A$는 정규행렬이므로 다음을 얻는다.

$$ U^{\ast} TT^{\ast} U = U^{\ast} T^{\ast} T U \implies TT^{\ast} = T^{\ast}T $$

$T$는 삼각행렬인데 정규행렬이므로, (a) 에 의해서 $T$는 대각행렬이다.

따라서 $(1)$은 대각화이므로, $A$는 대각화가능하다.

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(c)

증명

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