📂행렬대수

정규행렬의 정의

정의

정방행렬 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 이 다음을 만족하면 정규행렬^{normal matrix}이라 한다. $$ A A^{\ast} = A^{\ast} A $$ 여기서 $X^{\ast}$ 는 행렬 $X$ 의 켤레전치행렬이다.

성질

$A$ 가 정방행렬이라고 하자. 삼각행렬 $A$ 가 정규행렬인 것과 필요충분조건은 $A$ 가 대각행렬인 것이다: $$ A A^{\ast} = A^{\ast} A \iff \left( A \right)_{ij} = 0 , \forall i \ne j $$

증명 ¹

• $O_{n}$ 은 $\left( n \times n \right)$ 사이즈의 영행렬이다. 아래첨자가 생략된 경우는 행렬 내부의 크기에 맞춘다.
• $\bar{z}$ 는 복소수 $z$ 의 켤레복소수다.

$(\implies)$

수학적귀납법을 사용해서 증명한다. 일반성을 잃지 않고, $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 가 상삼각행렬인 경우에 대해서만 고려하자.

$n = 1$ 이면 자명하게 성립하고, $n = 2$ 이면 상삼각행렬 $$ A = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix} $$ 에 대해 $$ \begin{align*} & O_{2} \\ =& A A^{\ast} - A^{\ast} A \\ =& \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bar{a} & 0 \\ \bar{b} & \bar{c} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \bar{a} & 0 \\ \bar{b} & \bar{c} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} |a|^{2} + |b|^{2} & bc \\ c \bar{b} & |c|^{2} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} |a|^{2} & \bar{a} b \\ a \bar{b} & |b|^{2} + |c|^{2} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} |b|^{2} & b \left( c - \bar{a} \right) \\ \bar{b} \left( c - a \right) & - |b|^{2} \end{bmatrix} \end{align*} $$ 이므로 $b = 0$ 이어야 한다. 다시 말해, $A$ 는 대각행렬이다. 이제 $$ A A^{\ast} = A^{\ast} A \implies \left( A \right)_{ij} = 0 , \forall i \ne j $$ 이 $A \in \mathbb{C}^{(n-1) \times (n-1)}$ 에 대해 성립한다고 가정하자. 두 행렬 $B \in \mathbb{R}^{1 \times (n-1)}$ 과 $C \in \mathbb{C}^{(n-1) \times (n-1)}$ 을 통해 블럭행렬로 나타낸 $$ A = \begin{bmatrix} a & B \\ O & C \end{bmatrix} $$ 에 대해 $$ \begin{align*} & O_{n} \\ =& A A^{\ast} - A^{\ast} A \\ =& \begin{bmatrix} a & B \\ O & C \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bar{a} & O \\ B^{\ast} & C^{\ast} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \bar{a} & O \\ B^{\ast} & C^{\ast} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & B \\ O & C \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} |a|^{2} + B B^{\ast} & B C \\ C B^{\ast} & C C^{\ast} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} |a|^{2} & \bar{a} B \\ a B^{\ast} & B^{\ast} B + C^{\ast} C \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} B B^{\ast} & B C - \bar{a} B \\ C B^{\ast} - a B^{\ast} & C C^{\ast} - C^{\ast} C - B^{\ast} B \end{bmatrix} \end{align*} $$ 이고, $B B^{\ast} = \sum_{k=1}^{n-1} \left( B_{1k} \right)^{2} \in \mathbb{C}^{1 \times 1}$ 가 $0$ 이라는 것은 $B$ 의 모든 성분이 $0$ 이라는 것이다. 한편 $C C^{\ast} - C^{\ast} C = O_{n-1}$ 역시 성립해야 하므로 $C$ 는 정규 행렬이고, 따라서 $C$ 역시 대각행렬이어야 한다. 결론적으로 다음과 같이 정의된 행렬 $A$ 는 대각행렬이다. $$ A = \begin{bmatrix} a & B \\ O & C \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & O^{\ast} \\ O & C \end{bmatrix} $$

$(\impliedby)$

$A$ 가 대각행렬이면 $k = 1 , \cdots , n$ 에 대해 다음이 자명하게 성립한다. $$ \left( A A^{\ast} \right)_{kk} = \left( A \right)_{kk}^{2} = \left( A^{\ast} A \right)_{kk} $$

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