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정규행렬의 정의 📂행렬대수

정규행렬의 정의

정의

정방행렬 ACn×nA \in \mathbb{C}^{n \times n} 이 다음을 만족하면 정규행렬normal matrix이라 한다. AA=AA A A^{\ast} = A^{\ast} A 여기서 XX^{\ast}행렬 XX켤레전치행렬이다.

성질

AA 가 정방행렬이라고 하자. 삼각행렬 AA 가 정규행렬인 것과 필요충분조건은 AA대각행렬인 것이다: AA=AA    (A)ij=0,ij A A^{\ast} = A^{\ast} A \iff \left( A \right)_{ij} = 0 , \forall i \ne j

증명 1

  • OnO_{n}(n×n)\left( n \times n \right) 사이즈의 영행렬이다. 아래첨자가 생략된 경우는 행렬 내부의 크기에 맞춘다.
  • zˉ\bar{z}복소수 zz 의 켤레복소수다.

(    )(\implies)

수학적귀납법을 사용해서 증명한다. 일반성을 잃지 않고, ACn×nA \in \mathbb{C}^{n \times n} 가 상삼각행렬인 경우에 대해서만 고려하자.

n=1n = 1 이면 자명하게 성립하고, n=2n = 2 이면 상삼각행렬 A=[ab0c] A = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix} 에 대해 O2=AAAA=[ab0c][aˉ0bˉcˉ][aˉ0bˉcˉ][ab0c]=[a2+b2bccbˉc2][a2aˉbabˉb2+c2]=[b2b(caˉ)bˉ(ca)b2] \begin{align*} & O_{2} \\ =& A A^{\ast} - A^{\ast} A \\ =& \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bar{a} & 0 \\ \bar{b} & \bar{c} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \bar{a} & 0 \\ \bar{b} & \bar{c} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} |a|^{2} + |b|^{2} & bc \\ c \bar{b} & |c|^{2} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} |a|^{2} & \bar{a} b \\ a \bar{b} & |b|^{2} + |c|^{2} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} |b|^{2} & b \left( c - \bar{a} \right) \\ \bar{b} \left( c - a \right) & - |b|^{2} \end{bmatrix} \end{align*} 이므로 b=0b = 0 이어야 한다. 다시 말해, AA 는 대각행렬이다. 이제 AA=AA    (A)ij=0,ij A A^{\ast} = A^{\ast} A \implies \left( A \right)_{ij} = 0 , \forall i \ne j AC(n1)×(n1)A \in \mathbb{C}^{(n-1) \times (n-1)} 에 대해 성립한다고 가정하자. 두 행렬 BR1×(n1)B \in \mathbb{R}^{1 \times (n-1)}CC(n1)×(n1)C \in \mathbb{C}^{(n-1) \times (n-1)} 을 통해 블럭행렬로 나타낸 A=[aBOC] A = \begin{bmatrix} a & B \\ O & C \end{bmatrix} 에 대해 On=AAAA=[aBOC][aˉOBC][aˉOBC][aBOC]=[a2+BBBCCBCC][a2aˉBaBBB+CC]=[BBBCaˉBCBaBCCCCBB] \begin{align*} & O_{n} \\ =& A A^{\ast} - A^{\ast} A \\ =& \begin{bmatrix} a & B \\ O & C \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bar{a} & O \\ B^{\ast} & C^{\ast} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \bar{a} & O \\ B^{\ast} & C^{\ast} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & B \\ O & C \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} |a|^{2} + B B^{\ast} & B C \\ C B^{\ast} & C C^{\ast} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} |a|^{2} & \bar{a} B \\ a B^{\ast} & B^{\ast} B + C^{\ast} C \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} B B^{\ast} & B C - \bar{a} B \\ C B^{\ast} - a B^{\ast} & C C^{\ast} - C^{\ast} C - B^{\ast} B \end{bmatrix} \end{align*} 이고, BB=k=1n1(B1k)2C1×1B B^{\ast} = \sum_{k=1}^{n-1} \left( B_{1k} \right)^{2} \in \mathbb{C}^{1 \times 1}00 이라는 것은 BB 의 모든 성분이 00 이라는 것이다. 한편 CCCC=On1C C^{\ast} - C^{\ast} C = O_{n-1} 역시 성립해야 하므로 CC 는 정규 행렬이고, 따라서 CC 역시 대각행렬이어야 한다. 결론적으로 다음과 같이 정의된 행렬 AA 는 대각행렬이다. A=[aBOC]=[aOOC] A = \begin{bmatrix} a & B \\ O & C \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & O^{\ast} \\ O & C \end{bmatrix}

(    )(\impliedby)

AA 가 대각행렬이면 k=1,,nk = 1 , \cdots , n 에 대해 다음이 자명하게 성립한다. (AA)kk=(A)kk2=(AA)kk \left( A A^{\ast} \right)_{kk} = \left( A \right)_{kk}^{2} = \left( A^{\ast} A \right)_{kk}


  1. Ken Duna, If AA is normal and upper triangular then it is diagonal, URL (version: 2020-04-28): https://math.stackexchange.com/q/1763100 ↩︎