📂확률미분방정식

동적 노이즈의 정의

정의 ¹

동역학계, 특히 미분방정식으로 표현되는 시스템에서 결정론적인 시스템 $\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f} \left( \mathbf{x} \right)$ 이 주어져 있다고 하자. 우변에 확률벡터 $\mathbf{w}(t)$ 가 더해지면 이 시스템은 비결정론적인 확률과정이 되며, 이 때의 $\mathbf{w}(t)$ 를 동적 노이즈^{dynamical noise}라 한다.

설명

$$ \begin{align*} {{dx} \over {dt}} =& - \sigma x + \sigma y + w_{x} (t) \\ {{dy} \over {dt}} =& - xz + \rho x - y + w_{y} (t) \\ {{dz} \over {dt}} =& xy - \beta z + w_{z} (t) \end{align*} $$ 예를 들어 로렌츠 어트랙터에 동적 노이즈가 추가된 시스템은 위와 같이 나타낼 수 있다.

연구를 하는 입장에서 트래젝터리 $\mathbf{x} (t)$ 에 일괄적으로 화이트 노이즈를 추가하는 것과 가장 뚜렷한 차이점은 솔버를 사용할 때 노이즈가 그때그때 가해진다는 것이다. 말 그대로 변화량 자체가 노이즈로 작용했으므로 그 결과는 연속이지만 원래의 지배 방정식에서는 멀어진다.