📂유체역학

다르시-브린크만-포르흐하이머 방정식 유도

정리 ¹

다공성 매체에서 유체의 운동을 표현하려 한다. $$ \mathbf{u} = \mathbf{u} \left( t ; \mathbf{x} \right) = \left( u_{1} \left( t ; \mathbf{x} \right) , u_{2} \left( t ; \mathbf{x} \right) , u_{3} \left( t ; \mathbf{x} \right) \right) $$ 특히, 3차원 공간에서 시점 $t$ 와 공간좌표 $\mathbf{x} = \left( x_{1} , x_{2} , x_{3} \right)$ 의 유속장을 위와 같은 속도벡터로 나타낸다고 하자. 그와 비슷하게, $p : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}$ 은 각 좌표에서 가해지는 압력 $p = p \left( \mathbf{x} \right)$ 을 나타낸다. $\mathbf{u}$ 가 비압축성인 뉴턴 유체의 유속이라면, 다음의 지배 방정식을 따른다. $$ \rho \left[ {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }} + \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u} \right] = - \nabla p + \mu \nabla^{2} \mathbf{u} - {\frac{ \mu }{ k }} \mathbf{u} - \beta \rho |u| u + \rho \mathbf{g} $$ 여기서 $\rho$ 는 밀도, $\nabla \cdot$ 은 발산, $\mu$ 는 점성 계수, $k$ 는 투과성, $\beta$ 는 경험적 상수^{empirical constant}, $\mathbf{g}$ 는 중력가속도다.

설명

나비에-스톡스 방정식: $$ {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }} + \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u} = - \nabla w + \nu \nabla^{2} \mathbf{u} + \mathbf{g} $$

다르시-브린크만-포르흐하이머 방정식^{Darcy-Brinkman-Forchheimer equation}은 나비에-스톡스 방정식과 유사하지만 다공성 매체가 반영되었을 때의 지배방정식이다.

유도

이 유도과정은 전혀 엄밀하지 않은데, 어차피 포르흐하이머 항이 추가될 때 경험법칙이 적용되기 때문에 그냥 이런 느낌이구나 하는 정도만 받아들이면 되겠다.

오일러 방정식: $$ {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }} + \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u} = - {\frac{ 1 }{ \rho }} \nabla p + \mathbf{g} $$

가장 단순한 오일러 방정식으로 시작한다. 여기서 우변에 여러가지 항이 추가될텐데, 유체 그 자체에 대한 압력이 아니라 다공성 매체에 대한 압력 $p '$에 대해 살펴본다. $$ \rho \left[ {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }} + \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u} \right] = - \nabla p + \nabla p ' + \rho \mathbf{g} $$ 당연하지만 $\nabla p$ 와 $\nabla p '$ 는 차원이 같으므로 우변에 더해지는 것은 차원분석적인 측면에서 자연스러울 것이다. 이제부터 이 $\nabla p '$ 이 어떻게 나타나는지만 신경쓰겠다.

다르시 항

다르시 법칙: $$ Q = \frac{k A}{\mu L} \Delta p $$

길이 $L$ 에 대해 $\Delta p ' = p ' \left( \mathbf{x} \right) - p ' \left( \mathbf{x} + L \right)$ 이다. $L$ 은 벡터가 아니니 $\mathbf{x} + L$ 과 같은 표현이 말이 안 된다는 건 알지만 앞서 말했듯 엄밀할 필요가 없으니 넘어가도록 하자. 이를 $p '$ 에 대해 정리하면 다음과 같다. $$ {\frac{ p ' \left( \mathbf{x} + L \right) - p ' \left( \mathbf{x} \right) }{ L }} = - {\frac{ \mu }{ k }} {\frac{ Q }{ A }} $$

유량의 연속 방정식: $$ Q = A_{1} U_{1} = A_{2} U_{2} $$

좌변에는 $L \to \infty$ 를 취하고, 우변에서는 유속 $\mathbf{u}$ 가 유량과 단면적의 비로 표현되므로 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$ \nabla p ' = - {\frac{ \mu }{ k }} \mathbf{u} $$

브리크만 항 ²

근본적으로 나비에-스톡스 방정식에서 점성항이 추가되는 것과 같다. $\nabla p '$ 는 다음과 같이 브리크만 항 $\mu \nabla^{2} \mathbf{u}$ 을 더해 표현할 수 있다. $$ \nabla p ' = - {\frac{ \mu }{ k }} \mathbf{u} + \mu \nabla^{2} \mathbf{u} $$

포르흐하이머 항

관성 효과를 반영하기 위한 경험법칙이다. 우변에 속도의 제곱에 비례하는 항 포르흐하이머 항 $- \beta \rho |u| u$ 가 추가된다. $$ \nabla p ' = - {\frac{ \mu }{ k }} \mathbf{u} + \mu \nabla^{2} \mathbf{u} - \beta \rho |u| u $$

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