📂동역학

동역학계의 다중안정성

정의 ¹

동역학계에서 안정적인 어트랙터가 여러개 존재할 때, 시스템이 다중안정성^{multistability}을 가진다고 한다.

설명

다중안정성은 초기 조건^{initial condition}에 따라 수렴하게 될 어트랙터가 여러개 존재하는 상황을 말한다. 가령 다음과 같은 시스템이 있다고 하자. $$ \begin{align*} \dot{x} =& y \\ \dot{y} =& z \\ \dot{z} =& - y + 3y^{2} - x^{2} - xz + \alpha + \varepsilon u \\ \dot{u} =& - k u - \varepsilon \left( z - \beta \right) \end{align*} $$ 이 시스템이 무엇인지는 별로 중요하지 않다.

여기서 특정 파라미터 세팅 하의 어트랙터의 베이신을 보면 초기 조건 $\left( x_{0} , y_{0} \right)$ 에 따라 $\textrm{I}_{o}$, $\textrm{II}_{o}$, $\textrm{III}_{o}$ 세가지 서로 다른 어트랙터로 수렴하는 것을 볼 수 있다.

토마스 시스템에서도 등장하고², 아토피성 피부염 시스템에서도 이중안정성^bistability가 등장한다³. 특히 아토피성 피부염에서 이중안정성이란 다른 파라미터가 모두 같음에도 초기 조건에 따라 건강하거나 만성질환으로 갈리는 경우를 말하게 된다.