프란틀 수의 정의
정의
비열 $C_{p}$ 와 과 점성계수 $\mu$ 의 곱을 열전도율 $k$ 로 나눈 무차원량을 프란틀 수Prandtl number라 한다. $$ \mathrm{Pr} = \frac{C_p \mu}{k} $$
설명
프란틀 수의 직관적인 해석은 다른 무차원량이 그러하듯 그 크기에 비례하는 요소들을 생각하며 분자와 분모를 나누어 보는 게 좋다. $\mathrm{Pr}$ 이 크다는 것은 비열이 높거나 끈적이지 않거나 열전도율이 낮다는 뜻이다. 상대적으로 큰 $\mathrm{Pr} \gg 0$ 이라는 것은 열전달의 맥락에서 단열재로써 좋다는 의미가 될 것이다.
- 비열이 높으면 일단 이 물질을 가열하는 것 자체가 지체된다.
- 끈적인다는 것은 대류가 적게 일어난다는 것이다.
- 열전도율이 낮아 에너지 전달이 적다.
- 반대로 열전달 효율을 높여야하는 맥락에서 $\mathrm{Pr}$ 은 낮을수록 좋다.
한편 분자와 분모에 밀도 $\rho$ 를 생각해보면 열전도율 $k$ 는 열확산도 $\alpha$ 에 대해 $k = \rho C_{P} \alpha$ 고 점성계수 $\mu$ 는 동점성계수 $\nu$ 에 대해 $\mu = \rho \nu$ 이므로, 프란틀 수는 다음과 같이 더 간단한 꼴로 나타낼 수도 있다. $$ \mathrm{Pr} = \frac{C_{P} \mu}{\rho C_{P} \alpha} = \frac{\mu / \rho}{\alpha} = \frac{\nu}{\alpha} $$
다른 무차원량과의 관계
슈미트 수와 프란틀 수는 다음과 같이 운동점성계수 $\nu$ 를 약분하며 그 비로써 루이스 수를 표현할 수 있다. $$ \begin{align*} \mathrm{Sc} =& {\frac{ \nu }{ D }} \\ \mathrm{Pr} =& {\frac{ \nu }{ \alpha }} \\ \implies \mathrm{Le} =& = {\frac{ \nu }{ D }} \left( {\frac{ \nu }{ \alpha }} \right)^{-1} = \frac{ \mathrm{Sc} }{ \mathrm{Pr} } \end{align*} $$