피크의 법칙과 질량확산도
법칙
질량을 가진 입자들의 계system를 생각하되, 부피가 일정하다고 하자. 유클리드 공간 $\mathbb{R}^{n}$ 에서 지점 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$ 의 밀도를 $\mathbf{u} = \mathbf{u} \left( \mathbf{x} \right)$ 와 같이 나타내자. 확산에 의한 유량 $\mathbf{J} \left( \mathbf{x} \right)$ 을 확산 유량diffusion flux이라 한다. 확산 유량과 밀도에 대한 다음의 두 법칙들을 피크의 법칙Fick’s laws이라 한다.
제1법칙
확산 유량은 밀도의 변화량에 비례한다. $$ \mathbf{J} \left( \mathbf{x} \right) = - D \nabla \mathbf{u} \left( \mathbf{x} \right) $$ 여기서 비례상수 $D$ 를 질량확산도mass diffusivity라 한자.
제2법칙
밀도는 확산방정식을 따른다. $$ {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }} = D \nabla^2 \mathbf{u} $$
설명
직관적으로 보자면 제1법칙은 ‘밀도가 줄어드는 방향으로 확산이 일어난다’는 한 마디로 요약할 수 있다.
제2법칙은 보존방정식과 피크의 제1법칙에서 유도된다. 계에서 질량이 보존된다고 가정하면, 밀도의 시간에 따른 변화량과 확산 유량의 발산의 합은 0이어야 한다. $\mathbf{J}$ 가 단위 시간동안 단위 면적을 지나가는 양이므로, 체적을 가진 양의 경계를 드나드는 양은 그 발산인 $\nabla \cdot \mathbf{J}$ 고 다음을 얻는다. $$ {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }} + \nabla \cdot \mathbf{J} = 0 $$ 이를 보존방정식conservation equation이라 한다.
$\nabla \mathbf{u}$ 의 다이벌전스: $$ \nabla \cdot \nabla \mathbf{u} = \nabla^{2} \mathbf{u} $$
보존방정식에 피크의 제1법칙을 대입하면 다음과 같이 확산방정식이 유도된다. $$ \begin{align*} {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }} =& - \nabla \cdot \mathbf{J} \\ =& - \nabla \cdot \left( - D \nabla \mathbf{u} \right) \\ =& D \nabla^2 \mathbf{u} \end{align*} $$
질량확산도가 정의되는 방식은 열확산도 $\alpha$ 가 열방정식 $\mathbf{u}_{t} = \alpha \nabla^2 \mathbf{u}$ 에서 정의되는 것과 같다.