벡터공간의 정의
정의1
공집합이 아닌 집합 $V$의 원소들이 두 연산 덧셈addition과 상수 곱scalar multiplication에 대해서 아래와 같은 10가지의 규칙을 만족할 때 $V$를 체2 $\mathbb{F}$에 대한 벡터공간vector space 혹은 $\mathbb{F}$-벡터공간이라고 하고 $V$의 원소를 벡터vector 라고 한다.
$\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V$와 $k, l \in \mathbb{F}$에 대해서,
(A1) $\mathbf{u}, \mathbf{v}$가 $V$의 원소이면 $\mathbf{u}+\mathbf{v}$도 $V$의 원소이다.
(A2) $\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$
(A3) $(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})$
(A4) $V$내의 모든 $\mathbf{u}$에 대해서, $\mathbf{u} + \mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{u} = \mathbf{u}$를 만족하는 $\mathbf{0}$이 $V$내에 존재한다. 이 때 $\mathbf{0}$을 영벡터zero vector라고 한다.
(A5) $V$내의 모든 $\mathbf{u}$에 대해서 $\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u} = \mathbf{0}$ 를 만족하는 $\mathbf{v}$가 $V$내에 존재한다. 이 때 $\mathbf{v}$를 $\mathbf{u}$의 음negative of $\mathbf{u}$이라 하고 $\mathbf{v} = -\mathbf{u}$라고 표기한다.
(M1) $\mathbf{u}$가 $V$의 원소이면 $k \mathbf{u}$도 $V$의 원소이다.
(M2) $k(\mathbf{u} + \mathbf{v})=k\mathbf{u} + k\mathbf{v}$
(M3) $(k+l)\mathbf{u}=k\mathbf{u}+ l\mathbf{u}$
(M4) $k(l\mathbf{u})=(kl)(\mathbf{u})$
(M5) $1\in \mathbb{F}$에 대해서, $1\mathbf{u} = \mathbf{u}$
설명
- 선형 공간linear space이라는 말도 쓰인다.
당연하게도 상수(체)가 실수여야할 필요는 없다. 특별히 $\mathbb{F} = \mathbb{R}$인 경우를 실벡터공간real vector space이라 하고, $\mathbb{F} = \mathbb{C}$인 경우를 복소벡터공간complex vector space이라 한다.
수학과 학부 선형대수학에서는 주로 $\mathbb{R}^{n}$이나 $\mathbb{C}^{n}$을 다룬다. $\mathbb{R}^{n}$은 실수 $n$개의 순서쌍을 원소로 가지는 벡터공간을 말한다. 즉 $n$차원 유클리드 공간을 뜻하고 구체적으로 $\mathbb{R}^{3}$는 고등학교 수학, 미분적분학에서 지겹도록 봤던 3차원 공간을 의미한다.
벡터공간이 되는 집합은 여러가지가 있다. 함수들의 집합도 벡터공간이 될 수 있고 이를 함수공간이라 한다.
물리학에서는 크기와 방향이 있는 것을 벡터라고 한다. 그 개념을 일반화 시킨것이 선형대수학에서의 벡터이다. 예를 들어 크기가 $m\times n$인 실수 행렬을 모아놓은 집합 $M_{m\times n}(\mathbb{R})$을 생각해보자. 그러면 $M_{m\times n}(\mathbb{R})$은 위의 규칙 열가지 규칙을 모두 만족시킴을 알 수 있다. 따라서 같은 크기의 행렬을 모아놓은 집합은 벡터공간이 되고 각각의 행렬들은 그 안에서의 벡터가 된다. 이러한 추상적인 벡터공간을 처음 접했다면 행렬도 벡터라는 사실이 놀라울 수도 있지만 그동안 좌표공간의 벡터를 어떻게 표기했는가를 생각해보면 놀라울 것도 아니다.
어떤 집합이 벡터공간인지 아닌지를 판별하려면 위의 정의를 만족하는지 하나하나 살펴보면 된다. 딱봐도 벡터공간일 것 같은데 아닐 수 있고, 딱봐도 벡터공간이 아닐 것 같은데 사실은 벡터공간일 수도 있다. 직관과는 전혀 다른 경우가 있으니 문제를 풀 때는 하나하나 제대로 살펴보는 것이 좋다. 또한 영벡터 $\mathbf{0}$와 상수 $0$은 전혀 다른 것이니 잘 구분하도록 하자. 보통 교재에서 벡터는 굵은 글씨체로 표현한다.
정리1
$V$를 벡터공간, $\mathbf{u}$를 $V$의 원소라고 하자.
(1a) $V$의 영벡터는 유일하다.
(1b) $\mathbf{u}$의 음은 유일하다.
증명
벡터공간의 정의를 이용한 증명이다.
(1a)
$\mathbf{0},\mathbf{0}^{\prime}$이 $V$의 영벡터라고 하자. 그러면 벡터공간의 정의에 의해 다음이 성립한다.
$$ \begin{align*} \mathbf{0} &= \mathbf{0} + \mathbf{0}^{\prime} && \text{by (A4)} \\ &= \mathbf{0}^{\prime} + \mathbf{0} && \text{by (A2)} \\ &= \mathbf{0}^{\prime} && \text{by (A4)} \end{align*} $$
따라서 두 영벡터는 서로 같다.
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(1b)
$\mathbf{v}, \mathbf{v}^{\prime}$이 $\mathbf{u}$의 음이라고 하자. 그러면 벡터공간의 정의에 의해 다음이 성립한다.
$$ \begin{align*} \mathbf{v} &= \mathbf{v} + \mathbf{0} && \text{by (A4)} \\ &= \mathbf{v} + \left( \mathbf{u} + \mathbf{v}^{\prime} \right) && \text{by (A5)} \\ &= \left( \mathbf{v} + \mathbf{u} \right) + \mathbf{v}^{\prime} && \text{by (A3)} \\ &= \mathbf{0} + \mathbf{v}^{\prime} && \text{by (A5)} \\ &= \mathbf{v}^{\prime} && \text{by (A4)} \end{align*} $$
따라서 $\mathbf{u}$의 두 음은 서로 같다.
■
정리2
$V$를 벡터공간, $\mathbf{u}$를 $V$의 원소, $k$를 상수라고 하자.
(2a) $0 \mathbf{u} = \mathbf{0}$
(2b) $k \mathbf{0} = \mathbf{0}$
(2c) $(-1) \mathbf{u} = -\mathbf{u}$
(2d) 만약 $k \mathbf{u} = \mathbf{0}$이면, $k = 0$이거나 $\mathbf{u} = \mathbf{0}$이다.
증명
벡터공간의 정의를 이용한 증명이다.
(2a)
$$ \begin{align*} && 0\mathbf{u} &= (0 + 0)\mathbf{u} \\ && &= 0\mathbf{u} + 0\mathbf{u} &&\text{by (M3)} \\ & & \\ \implies && 0\mathbf{u}+(-0\mathbf{u}) &= 0\mathbf{u} + 0\mathbf{u} +(-0\mathbf{u}) \\ \implies && \mathbf{0} &= 0\mathbf{u} &&\text{by (A5)} \end{align*} $$
■
(2b)
$$ \begin{align*} && k\mathbf{0} &= k(\mathbf{0} + \mathbf{0}) &&\text{by (A4)} \\ && &= k\mathbf{0} + k\mathbf{0} &&\text{by (M2)} \\ & & \\ \implies && k\mathbf{0}+(-k\mathbf{0}) &= k\mathbf{0} + k\mathbf{0} +(-k\mathbf{0}) \\ \implies && \mathbf{0} &= k\mathbf{0} &&\text{by (A5)} \end{align*} $$
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(2c)
$$ \begin{align*} \mathbf{u} + (-1)\mathbf{u} &= 1 \mathbf{u} + (-1)\mathbf{u} &&\text{by (M5)} \\ &= \big( 1 + (-1) \big) \mathbf{u} &&\text{by (M3)} \\ &= 0 \mathbf{u} \\ &= \mathbf{0} &&\text{by (a2)} \end{align*} $$
그러면 (A5) 에 의해 $(-1)\mathbf{u}$는 $\mathbf{u}$이 음이고, (1b) 에 의해 $\mathbf{u}$의 음은 유일하므로
$$ (-1)\mathbf{u} = -\mathbf{u} $$
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(2d)
$k$는 반드시 $0$이거나 $0$이 아니거나 둘 중 하나의 경우에만 해당하므로 두 경우로 나누어 생각해보자.
$k=0$인 경우
결론을 만족 한다.
$k\ne 0$인 경우
$k$가 $0$이 아니므로 $k$로 나눌 수 있다. 따라서
$$ \begin{align*} && k \mathbf{u} &= \mathbf{0} \\ \implies && \mathbf{u} &= \frac{1}{k}\mathbf{0} \\ && &= \mathbf{0} && \text{by (2b)} \end{align*} $$
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같이보기
추상대수
아래의 문서들에서 말하는 $F$-벡터공간은 사실 위 문서들의 벡터 공간들과 한 치의 차이도 없다. 다만 관점이 좀 다른데, 선형대수학에서의 벡터공간이 직관적인 유클리드 공간의 추상화고 추상대수학에서의 벡터공간은 그것을 진정한 의미의 ‘대수’로 가져오는 것으로 볼 수 있다.
반대로 $R$-모듈은 $F$-벡터공간의 스칼라 필드 $F$ 를 스칼라 링 $R$ 으로써 일반화하는데에 그 의미가 있고, 따라서 $F$-벡터필드의 역사와 의미에 무관심한 네이밍으로 그 정체성을 보여주고 있다. 그룹 $G$ 의 입장에서 보자면 링 $R$ 과 새로운 연산 $\mu$ 가 첨가添加된 것이므로 그 한역도 가군加群이다.