쿠라모토-시바신스키 방정식
정의
$$ {\frac{ \partial u }{ \partial t }} + {\frac{ \partial }{ \partial x }} \left( {\frac{ 1 }{ 2 }} u^{2} \right) + {\frac{ \partial^{2} u }{ \partial x^{2} }} + {\frac{ \partial^{4} u }{ \partial x^{4} }} = 0 $$
위의 편미분방정식을 쿠라모토-시바신스키 방정식Kuramoto-Sivashinsky equation이라 한다. 또 다른 폼으로는 비선형항을 풀어서 다음과 같이 나타내기도 한다.
$$ {\frac{ \partial u }{ \partial t }} + u {\frac{ \partial u }{ \partial x }} + {\frac{ \partial^{2} u }{ \partial x^{2} }} + {\frac{ \partial^{4} u }{ \partial x^{4} }} = 0 $$
설명
물리적인 의미로 접근했을 때는 $t$ 에 대한 미분과 $x$ 에 대한 미분을 포함해서 버거스 방정식이 되고, $x$ 에 대한 두 번 미분이 점성viscosity을 나타내고, $x$ 에 대한 네 번째 미분이 반응 확산reaction-diffusion을 반영한다고 한다.
다음은 해당 방정식을 스펙트럴 메서드로 푼 것이다.
$1$차원 공간에서, 위의 지배 방정식을 따르는 $u = u \left( t ; x \right)$ 는 캐어릭한 양상을 보이는 동역학계를 이룬다.
가히 동역학이라는 분야에서 혼돈게가 언급할 때, 상미분방정식에 로렌츠 어트랙터가 있다면 편미분방정식에는 쿠라모토-시바신스키 방정식이 있다고 말해도 과언이 아니다. 그정도로 기본적이고 널리 쓰이는 시스템이다.