📂복소해석

복소해석에서 특이점의 종류

정의

특이점 ¹

1. 함수 $f$ 가 $\alpha$ 에서 어떤 $\mathcal{N}(\alpha)$ 의 모든 점에서 미분가능하면 $\alpha$ 에서 해석적^analytic이라고 한다.
2. 함수 $f$ 가 $\alpha \in \mathbb{C}$ 에서는 해석적이지는 않지만 모든 $\mathcal{N}(\alpha)$ 의 어떤 점에서는 해석적일 때 $\alpha$ 를 $f$ 의 특이점^{singular point}이라고 부른다.
3. 특이점 $\alpha$ 이 $\alpha$ 를 제외한 모든 점에서 해석적인 $\mathcal{N}(\alpha)$ 가 존재하면 $\alpha$ 가 고립^isolated되어있다고 한다.

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• $\mathcal{N}$ 은 네이버후드로, $\alpha$ 를 포함하는 오픈 셋을 의미한다.

종류

$\alpha \in \mathbb{C}$ 가 $f$ 의 특이점이라고 하자.

4. $\displaystyle \exists \lim_{z \to \alpha} f(z) \iff$ $\alpha$ 는 제거할 수 있는^removable 특이점이다.
5. $\displaystyle \lim_{z \to \alpha} (z - \alpha)^n f(z) = k \ne 0 \iff$ $\alpha$ 는 $n$차 극점^{pole of Order $n$}이다.
6. $\alpha$ 가 극점이 아니거나 분기에 연관되어 있다. $\iff$ $\alpha$ 는 본질적 특이점^{essential singular point}다.

설명

극점은 특히 $n=1$ 이면 단순극^{simple Pole}이라 한다.

사실 아주 변태적인 경우가 아닌 이상은 보통 $f$ 가 정의되지 않는 점이 곧 특이점이 된다.

예를 들어, $\displaystyle f(z) = {{z - i} \over {(z^2+1)(z+i)}}$ 이라고 한다면 특이점은 $z= \pm i$ 이 될 것이다. 딱히 유한할 필요도 없는데, $\csc z$ 의 경우 $z = n \pi ( n \in \mathbb{Z} )$ 모두가 특이점이다. 한편 $\text{Log} z$ 은 $z= 0$ 에서 특이점을 가지는데, 위에서 들었던 예시와들과는 조금 다르다는 느낌이 들 것이다.

• $\displaystyle f(z) = {{z - i} \over {(z^2+1)(z+i)}}$ 에서 $z = i$ 는 제거할 수 있고, $z = -i$ 는 $2$차 극점이다.

• $\displaystyle \lim_{z \to n \pi} {{ z - n \pi } \over {\sin z }} = 1$ 이므로 $\csc z$ 의 특이점들은 모두 $1$차 극점, 즉 단순극들이다.

• 마지막으로 $\text{Log} z$ 에서 $z = 0$ 은 분기점 이므로, 본질적 특이점이다.

이러한 특이점의 분류는 언뜻 아무 의미 없는 정의놀음처럼 보이지만 후에 이어지는 적분에 대한 논의에서 아주 중요한 개념이 된다.