플라톤의 입체와 분류 정리 증명
정리
3차원 유클리드 공간 $\mathbb{R}^{3}$ 에서 모든 면이 같은 정다각형이며, 모든 꼭짓점에서 만나는 면의 수가 같은 입체도형을 정다면체regular polyhedron라 한다.
컨벡스한 정다면체는 다섯가지 뿐이고, 이를 플라톤의 입체Platonic solid라 한다. 플라톤의 입체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체가 있다.
증명
존재성
정다면체의 각 면이 정$p$각형이라 하면 내각 하나의 크기 $\theta$ 는 다음과 같다. $$ \theta = {\frac{(p-2) \pi}{p}} $$
각 꼭짓점 만나는 면의 수가 $q$ 라고 하자. 정다면체가 컨벡스하려면 꼭짓점마다 각이 $\theta$ 인 면 $q$ 개가 만나서 내각의 크기를 다 합친 것이 $2\pi$ 보다 작아야 하므로, $(p, q)$ 가 다음의 부등식을 만족하는 경우에만 정다면체가 존재할 수 있다. $$ \begin{align*} q \theta <& 2 \pi \\ \implies q {\frac{(p-2) \pi}{p}} <& 2 \pi \\ \implies q {\frac{(p-2)}{p}} <& 2 \end{align*} $$ 정삼각형의 케이스인 $p = 3$ 부터 하나하나 대입해서 모든 경우의 수를 찾아보자. $$ \begin{align*} q {\frac{ 1 }{ 3 }} <& 2 \\ \implies q <& 6 \end{align*} $$ $q$ 는 꼭짓점에서 만나는 면의 수라 했으므로 $q \ge 3$ 이어야 한다. 따라서 $p = 3$ 인 경우에는 $q = 3, 4, 5$ 가 가능하다. 정사각형인 $p = 4$ 인 경우에는 $$ \begin{align*} q {\frac{ 1 }{ 2 }} <& 2 \\ \implies q <& 4 \end{align*} $$ 이므로 $q = 3$ 뿐이고, 정오각형인 $p = 5$ 인 경우에는 $$ \begin{align*} q {\frac{ 3 }{ 5 }} <& 2 \\ \implies q <& {\frac{10}{3}} \\ \implies q <& 3.\dot{3} \end{align*} $$ 이므로 역시 $q = 3$ 뿐이다. 정육각형 이상인 $p \ge 6$ 인 경우에는 $$ \begin{align*} q {\frac{(p-2)}{p}} <& 2 \\ \implies 3 \le q <& {\frac{2p}{p-2}} \le 3 \end{align*} $$ 이므로 $p$ 에 대응하는 $q$ 는 존재하지 않는다. 정다면체가 될 수 있는 모든 케이스는 다음과 같이 다섯가지 뿐임을 알 수 있다.
- $(p, q) = (3, 3)$
- $(p, q) = (3, 4)$
- $(p, q) = (3, 5)$
- $(p, q) = (4, 3)$
- $(p, q) = (5, 3)$
분류
다면체의 꼭짓점의 수를 $n$, 모서리의 수를 $m$, 면의 수를 $f$ 라 하자. 정다면체의 첫번째 조건에 따라 모든 면이 정$p$각형이라고 하면 각 면은 $p$ 개의 모서리를 가지므로 $$ pf = 2m $$ 이어야 한다. 정다면체의 두번째 조건에 따라 각 꼭짓점에서 $q$ 개의 면이 만난다고 하면 다음이 성립한다. $$ qn = 2m $$
오일러의 다면체 정리: 연결 평면 그래프 $G$ 에 대해, $n:=|V(G)|$, $m:=|E(G)|$, $f$ 를 페이스의 수라고 하면 $$ n-m+f=2 $$
오일러의 다면체 정리에 $f$, $n$ 을 대입하면 다음을 얻는다. $$ \begin{align*} {\frac{ 2 }{ q }} m - m + {\frac{ 2 }{ p }} m =& 2 \\ \implies \left( {\frac{ 2 }{ q }} - 1 + {\frac{ 2 }{ p }} \right) m =& 2 \\ \implies \left( {\frac{ 2p + 2q - pq }{ pq }} \right) m =& 2 \\ \implies m =& {\frac{ 2pq }{ 2p + 2q - pq }} \end{align*} $$ 이제 $(p , q)$ 를 모조리 대입해서 정다면체를 이루는 모서리 수 $m$ 을 구하고, 정$f$면체를 특정할 수 있다. $$ \begin{align*} (3,3) \implies & m = 6 \implies 3 f = 12 & \left( 정사면체 \right) \\ (3,4) \implies & m = 12 \implies 3 f = 24 & \left( 정팔면체 \right) \\ (3,5) \implies & m = 30 \implies 3 f = 60 & \left( 정이십면체 \right) \\ (4,3) \implies & m = 12 \implies 4 f = 24 & \left( 정육면체 \right) \\ (5,3) \implies & m = 30 \implies 5 f = 60 & \left( 정십이면체 \right) \end{align*} $$
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그리고 이 정리를 증명한 뒤에 꼭 봐야할 영상이 있다.