📂유체역학

토리첼리의 정리 증명

정리 ¹

유체의 공급량과 배출량이 똑같아서 수위 $h$ 가 일정해서 정상유동을 하는 유체를 담은 탱크가 있다고 하자. 이 유체는 비점성이고 비압축성이라고 가정한다. 단면적이 $A_{1}$ 로 일정한 탱크의 최하부에서 단면적이 $A_{2}$ 으로 탱크에 비해 매우 좁은 관을 통해 배출되는 유량 $Q$ 과 그 유속 $u_{2}$ 는 밀도 $\rho$, 중력가속도 $g$ 에 대해 다음과 같이 나타난다. $$ \begin{align*} u_{2} =& \sqrt{2 g h} \\ Q =& A_{2} \sqrt{2 g h} \end{align*} $$ 이들을 아울러 토리첼리의 정리^{Torricelli’s theorem}라 한다.

설명

토리첼리 정리의 속도 공식은 고전 역학에서 쓰는 공식인 낙하한 거리가 $h$ 인 물체의 속도 $v = \sqrt{2 g h}$ 와 같다.

증명

베르누이 방정식: 단위체적당 에너지는 다음과 같으며 일정하다. $$ {\frac{ \rho u^{2} }{ 2 }} + \rho g z + p $$

탱크의 수면 $1$ 이든 출구 $2$ 든 그 에너지는 일정하고, 베르누이 방정식에 따라 다음과 같다. $$ {\frac{ \rho u_{1}^{2} }{ 2 }} + \rho g z_{1} + p_{1} = {\frac{ \rho u_{2}^{2} }{ 2 }} + \rho g z_{2} + p_{2} $$ 여기서 $p_{1}$ 과 $p_{2}$ 는 대기압과 같으므로 서로 소거시킬 수 있다. $$ {\frac{ \rho u_{1}^{2} }{ 2 }} + \rho g z_{1} = {\frac{ \rho u_{2}^{2} }{ 2 }} + \rho g z_{2} $$ 양변에서 $\rho$ 를 나누고, $2$ 를 곱하면 다음과 같다. $$ u_{1}^{2} + 2 g z_{1} = u_{2}^{2} + 2 g z_{2} $$

연속 방정식 $$ Q = A_{1} u_{1} = A_{2} u_{2} $$

연속 방정식에 따라 $u_{1} = (A_{2} / A_{1}) u_{2}$ 인데, 탱크의 단면적에 비해 출구 단면적이 매우 작으므로 $A_{2} / A_{1} \approx 0$ 이고, $u_{1}^{2} \approx 0$ 으로 둘 수 있다. 이를 $u_{2}$ 에 대해 정리하면 다음과 같다. $$ u_{2} = \sqrt{ 2 g \left( z_{1} - z_{2} \right)} = \sqrt{ 2 g h } $$ 그리고 다시 한 번, 연속 방정식에 따라 $Q = A_{2} u_{2}$ 임을 알 수 있다.

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