무차원량의 정의
정의
물리학에서, 무차원량dimensionless quantity이란 🔒(26/04/15)차원이 $1$인 🔒(26/04/13)물리량을 뜻한다.
설명
바로 위에서 물리학 이야기를 꺼냈지만 가장 대표적이고 친숙한 무차원량은 바로 각도를 나타내는 라디안이다. 마침 무차원량을 이해하기 딱 좋은 예시인데, 우선은 그와 대비되는 예로써 속도를 먼저 생각해보자.
$$ v = {\frac{ \Delta s }{ \Delta t }} = \dfrac{\text{displacement}}{\text{time}} \implies \dim v = \dfrac{\mathsf{L}}{\mathsf{T}} = \mathsf{LT}^{-1} $$
속도는 이동할 때의 변위를 걸린 시간으로 나눈 것으로, 길이에서 시간을 나누어 $\mathsf{LT}^{-1}$라는 🔒(26/04/15)차원을 갖는다. 그 값이 10인지 1인지와는 관계 없이 근본적으로 길이를 시간으로 나누었기 때문에 그 차원이 남는다.
반면에 라디안은 각의 크기를 나타내는 단위로, 원의 반지름에 대한 호의 길이의 비율로 정의된다. 쉽게 말하자면 분자와 분모가 모두 길이 차원 $\mathsf{L}$이기 때문에 $\mathsf{L}$ 자체가 서로 약분되어 없어지게 되고, 따라서 라디안은 차원이 1인 무차원량이 된다.
$$ \theta = \dfrac{\ell}{r} = \dfrac{\text{arc length}}{\text{radius}} \implies \dim \theta = \dfrac{\mathsf{L}}{\mathsf{L}} = 1 $$
무차원량의 값을 매길 때 🔒(26/04/19)단위를 통일시키는 것이 매우 중요하다. 라디안을 다시 예로 보면, 반지름은 미터로 재고 호의 길이는 인치로 재서 값을 매기는 짓을 하면 안된다는 거다. 단위도 약분되어 사라질 수 있게 값을 맞춰줘야한다.
$$ \begin{align*} (\text{Incorrect})\quad &\dfrac{59.0551 \text{ inch}}{1 \text{ m}} = \xcancel{59.0551 \text{ rad}} \\[1em] (\text{Correct})\quad &\dfrac{59.0551 \text{ inch}}{1 \text{ m}} = \dfrac{1.5 \text{ m}}{1 \text{ m}} = \dfrac{1.5\ \cancel{\text{m}}}{1\ \cancel{\text{m}}} = 1.5 \text{ rad} \end{align*} $$