📂유체역학

부피 점성

정의

$$ \zeta := \lambda + {\frac{ 2 }{ 3 }} \mu $$ 3차원 유체 시스템에서 두 개의 라메 파라미터 $\lambda$, $\mu$ 에 대해 위와 같이 정의되는 상수 $\zeta$ 를 부피 점성^{bulk viscosity}이라 한다.

설명

부피 점성은 특히 압축성 유체를 다룰 때 등장하며 압축성 나비에-스톡스 방정식의 간단한 표현에서 $\xi = \zeta / \rho$ 와 같이 부피 점성과 밀도의 비인 체적 동점성 계수^{bulk kinematic viscosity}로도 나타난다.

유도과정을 보면 알겠지만, 2차원인 경우에는 $\zeta = \lambda + \mu$ 가 된다.

유도

$\zeta$ 는 정의기 때문에 유도할 필요가 없지만, 왜 저렇게 기괴한 형태를 갖추는지는 수식적으로 한번 살펴볼 필요가 있다. 단순히 두 파라미터의 가중합인만큼 물리적으로 대단한 의미가 있는 건 아니고 식을 간결하게 한다는 의미 정도로 받아들이면 된다.

코시 스트레스 텐서와 라메 파라미터: 특히, 3차원 공간에서 시점 $t$ 와 공간좌표 $\mathbf{x} = \left( x_{1} , x_{2} , x_{3} \right)$ 의 유속장을 위와 같은 속도벡터로 나타낸다고 하자. 이 유체가 점성과 압축성을 가지는 뉴턴 유체이라고 하자. 등방성이 가정되는 코시 스트레스 텐서 $\sigma$ 는 대칭화된 그래디언트 $\varepsilon$ 에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$ \sigma = - p I + 2 \mu \varepsilon + \lambda \tr \left( \varepsilon \right) I $$

코시 스트레스 텐서 $\sigma$ 를 압력 $p$ 의 관점에서 보면 자연스럽게 $\zeta$ 가 등장한다. $I$ 는 항등행렬이므로 $\sigma$ 의 트레이스는 다음과 같다. $$ \tr \left( \sigma \right) = - 3 p + 2 \mu \tr \left( \varepsilon \right) + 3 \lambda \tr \left( \varepsilon \right) $$ 이를 $p$ 에 대해 정리하면 다음과 같다. $$ \begin{align*} p =& - {\frac{ 1 }{ 3 }} \tr \left( \sigma \right) + \left( {\frac{ 2 }{ 3 }} \mu + \lambda \right) \tr \left( \varepsilon \right) \\ =& - {\frac{ 1 }{ 3 }} \tr \left( \sigma \right) + \zeta \tr \left( \varepsilon \right) \end{align*} $$ 보다시피 $\zeta$ 는 $\tr \left( \varepsilon \right)$ 의 계수를 묶으면서 나타났을 뿐이다.

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