옴의 법칙과 전기 전도도, 저항의 정의
도입1 2
많은 경우에 물질 내의 전류밀도 $\mathbf{J}$는 단위 전하가 받는 힘 $\mathbf{f}$에 비례한다.
$$ \mathbf{J} = \sigma \mathbf{f} $$
$\sigma$는 비례상수이다. 전하가 받는 힘을 로런츠 힘 법칙으로 나타내면 다음과 같다.
$$ \mathbf{J} = \sigma (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) $$
전하의 속도가 빠르지 않으면 두번째 항은 무시하고 다음과 같이 나타낸다.
법칙
대부분의 도체에서 전하의 속도가 충분히 느려 자기장의 영향을 무시할 수 있을 때, 물질 내의 전류밀도 $\mathbf{J}$와 전기장 $\mathbf{E}$ 사이에는 다음과 같은 선형적 비례 관계가 성립하고, 이를 옴의 법칙Ohm’s law이라 한다.
$$ \mathbf{J} = \sigma \mathbf{E} \tag{1} $$
비례 상수 $\sigma$를 매질의 전도도conductivity라 한다.
저항
아래 그림과 같이 전도도가 $\sigma$인 재료로 된 단면적이 $A$이고 길이가 $\ell$인 원통 모양의 도선이 있다고 하자.
양 끝의 전위차를 $V$라 하자. 그러면 도선 속에 흐르는 전류의 크기는 다음과 같다.
$$ I = J A = \sigma E A $$
이 경우 전기장은 $E = V/\ell$을 만족하므로, 다음을 얻는다.
$$ I = \frac{\sigma A}{\ell} V $$
이처럼 물체에 흐르는 전류는 물체 양 끝의 전위차 $V$에 비례한다. 전류와 전위차에 관한 비례식에서 비례상수 $R$을 저항resistance이라 한다.
$$ V = I R \tag{2} $$
설명
$(1)$을 미시적microscopic/미분형 옴의 법칙, $(2)$를 거시적macroscopic/적분형 옴의 법칙이라 부른다.
위 예시에서는 저항이 $R = \ell / \sigma A$로 나타났지만, 물리적 상황에 따라 식은 달라질 수 있다. 저항의 단위는 옴ohm이라 하며 기호는 $\Omega$이다.
$$ 1\ \Omega = 1\ \mathrm{V} / \mathrm{A} $$
전기 전도도가 높다는 것은 쉽게 말해 전기장에 따라 전하의 흐름이 잘 생긴다는 뜻으로, 그러한 물질을 전도체conductor 혹은 간단히 도체라 하고 전기 전도도가 낮은 물질을 절연체insulator라 한다. 전도도 $\sigma$ 의 역수 $\rho = \sigma^{-1}$ 를 저항률resistivity라 한다.