📂유체역학

압축성 나비에-스톡스 방정식 유도

정리

$$ \mathbf{u} = \mathbf{u} \left( t ; \mathbf{x} \right) = \left( u_{1} \left( t ; \mathbf{x} \right) , u_{2} \left( t ; \mathbf{x} \right) , u_{3} \left( t ; \mathbf{x} \right) \right) $$ 특히, 3차원 공간에서 시점 $t$ 와 공간좌표 $\mathbf{x} = \left( x_{1} , x_{2} , x_{3} \right)$ 의 유속장을 위와 같은 속도벡터로 나타낸다고 하자. 그와 비슷하게, $p : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}$ 은 각 좌표에서 가해지는 압력 $p = p \left( \mathbf{x} \right)$ 을 나타낸다. $\mathbf{u}$ 가 뉴턴 유체의 유속이라면, 다음의 지배 방정식을 따른다. $$ {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }} + \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u} = - \nabla w + \nu \nabla^{2} \mathbf{u} + \left( {\frac{ 1 }{ 3 }} \nu + \xi \right) \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{u} \right) + \mathbf{g} $$ 여기서 $\nabla \cdot$ 은 발산, $\nu = \mu / \rho$ 는 동점성 계수 $\mu$ 와 밀도 $\rho$ 의 비, $\nabla w = \nabla p / \rho$ 는 열역학적 일^{thermodynamic work}, $\xi = \zeta / \rho$ 는 부피 점성 $\zeta$ 와 밀도의 비인 체적 동점성 계수^{bulk kinematic viscosity}, $\mathbf{g}$ 는 중력가속도다.

설명

첫인상으로 봤을 때는 수식의 길이만 봐도 무시무시하지만, 오일러 방정식과 비압축성 나비에-스톡스 방정식의 유도과정을 따라왔다면 항이 하나씩 늘어나는 것에 불과해서 의외로 간단한 일반화를 겪어왔음을 알 수 있다. $$ {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }} + \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u} = - \nabla w + \mathbf{g} $$ 오일러 방정식은 위와 같이 압력과 중력만을 생각한다. $$ {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }} + \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u} = - \nabla w + \nu \nabla^{2} \mathbf{u} + \mathbf{g} $$ 나비에-스톡스 방정식은 점성항 $\nu \nabla^{2} \mathbf{u}$ 가 추가된다. $$ {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }} + \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u} = - \nabla w + \nu \nabla^{2} \mathbf{u} + \left( {\frac{ 1 }{ 3 }} \nu + \xi \right) \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{u} \right) + \mathbf{g} $$ 압축성 나비에-스톡스 방정식은 비압축성과 동치조건인 $\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$ 을 가정할 수 없기 때문에 우변의 세번째 항이 남는 것에 지나지 않는다.

압축성 유체라 하면 보통 기체를 생각하는만큼, 비압축성 나비에-스톡스 방정식은 액체를 다루고 압축성 나비에-스톡스 방정식은 기체를 다룬다고 생각해도 무방하다.

유도

발산 정리: 3차원 벡터함수 $\mathbf{F}$에 대해서 다음이 성립한다. $$ \int_{\mathcal{V}} \nabla \cdot \mathbf{F} dV = \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S} $$ 여기서 $\nabla \cdot \mathbf{F}$는 다이벌전스, $\int_{\mathcal{V}}$는 부피적분, $\oint_{\mathcal{S}}$는 폐곡면적분이다.

기본적으로 나비에-스톡스 방정식의 유도과정과 마찬가지로 코시 스트레스 텐서에 발산정리를 적용하려 한다. 갑자기 $\nabla \cdot \sigma$ 가 등장하는 게 이해가 되지 않는다면 나비에-스톡스 방정식의 유도과정에서 보다 친절하게 설명해두었으니 해당 포스트를 숙지하는 것을 권장한다.

$$ \begin{align*} \mathbf{f} =& \oint_{\partial V} \sigma \cdot d S \\ =& \int_{V} \nabla \cdot \sigma d V \\ \implies {\frac{ d \mathbf{f} }{ d V }} =& \nabla \cdot \sigma \end{align*} $$

발산 정리에 따라, $\rho D \mathbf{u} / D t$ 의 우변에 $d \mathbf{f} / d V = \nabla \cdot \sigma$ 를 더하면 우리가 원하는 지배방정식을 얻을 수 있다.

코시 스트레스 텐서와 라메 파라미터: 특히, 3차원 공간에서 시점 $t$ 와 공간좌표 $\mathbf{x} = \left( x_{1} , x_{2} , x_{3} \right)$ 의 유속장을 위와 같은 속도벡터로 나타낸다고 하자. 이 유체가 점성과 압축성을 가지는 뉴턴 유체이라고 하자. 등방성이 가정되는 코시 스트레스 텐서 $\sigma$ 는 대칭화된 그래디언트 $\varepsilon$ 에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$ \sigma = - p I + 2 \mu \varepsilon + \lambda \tr \left( \varepsilon \right) I $$ 여기서 대칭화된 그래디언트 $\varepsilon$ 는 다음과 같이 정의된다. $$ \varepsilon (\mathbf{u}) = {\frac{ 1 }{ 2 }} \left( \nabla \mathbf{u} + \left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T} \right) $$

점성과 압축성이 모두 고려되는 경우의 코시 스트레스 텐서는 압력을 포함해 세 개의 항으로 이루어져 있다. 이들을 $\mathbf{u}$ 에 대해 나타내기 위해 $\tr \left( \varepsilon \right)$ 부터 계산해보자. $$ \tr \left( \varepsilon \right) = {\frac{ \partial u_{1} }{ \partial x_{1} }} + {\frac{ \partial u_{2} }{ \partial x_{2} }} + {\frac{ \partial u_{3} }{ \partial x_{3} }} = \nabla \cdot \mathbf{u} $$ $\varepsilon$ 은 정의 그 자체로 대입하면 되므로 $\sigma \left( \mathbf{u} \right)$ 의 벡터꼴은 부피 점성 $\zeta = \lambda + {\frac{ 2 }{ 3 }} \mu$ 에 대해 다음과 같다. $$ \begin{align*} & \sigma \left( \mathbf{u} \right) \\ =& - p I + \mu \left( \nabla \mathbf{u} + \left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T} \right) + \lambda \left( \nabla \cdot \mathbf{u} \right) I \\ =& - p I + \lambda \left( \nabla \cdot \mathbf{u} \right) I + {\frac{ 2 }{ 3 }} \mu \left( \nabla \cdot \mathbf{u} \right) I - {\frac{ 2 }{ 3 }} \mu \left( \nabla \cdot \mathbf{u} \right) I + \mu \left( \nabla \mathbf{u} + \left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T} \right) \\ =& - p I + \zeta \left( \nabla \cdot \mathbf{u} \right) I + \mu \left( \nabla \mathbf{u} + \left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T} - {\frac{ 2 }{ 3 }} \left( \nabla \cdot \mathbf{u} \right) I \right) \end{align*} $$

$\nabla \mathbf{u}$ 의 다이벌전스: $$ \nabla \cdot \nabla \mathbf{u} = \nabla^{2} \mathbf{u} $$ $\left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T}$ 의 다이벌전스: $$ \nabla \cdot \left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T} = \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{u} \right) $$

이제 $\nabla \cdot \sigma$ 를 직접 전개해보자. $$ \begin{align*} & \rho {\frac{ D \mathbf{u} }{ D t }} - \rho \mathbf{g} \\ =& \nabla \cdot \sigma \\ =& \nabla \cdot \left( - p I + \zeta \left( \nabla \cdot \mathbf{u} \right) I + \mu \left[ \nabla \mathbf{u} + \left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T} - {\frac{ 2 }{ 3 }} \left( \nabla \cdot \mathbf{u} \right) I \right] \right) \\ =& - \nabla p + \zeta \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{u} \right) + \mu \nabla \cdot \left[ \nabla \mathbf{u} + \left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T} - {\frac{ 2 }{ 3 }} \left( \nabla \cdot \mathbf{u} \right) I \right] \\ =& - \nabla p + \zeta \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{u} \right) + \mu \left[ \nabla^{2} \mathbf{u} + \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{u} \right) - {\frac{ 2 }{ 3 }} \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{u} \right) \right] \\ =& - \nabla p + \zeta \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{u} \right) + \mu \left[ \nabla^{2} \mathbf{u} + {\frac{ 1 }{ 3 }} \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{u} \right) \right] \\ =& - \nabla p + \mu \nabla^{2} \mathbf{u} + {\frac{ 1 }{ 3 }} \mu \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{u} \right) + \zeta \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{u} \right) \\ =& - \nabla p + \mu \nabla^{2} \mathbf{u} + \left( {\frac{ 1 }{ 3 }} \mu + \zeta \right) \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{u} \right) \end{align*} $$

마지막으로 $\rho \mathbf{g}$ 을 이항하고 양변을 $\rho$ 로 나누면 우리가 원하던 방정식을 얻는다.

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