뉴턴의 점성 법칙과 뉴턴 유체
정의
$$ \mathbf{u} = \mathbf{u} \left( t ; \mathbf{x} \right) = \left( u_{1} \left( t ; \mathbf{x} \right) , u_{2} \left( t ; \mathbf{x} \right) , u_{3} \left( t ; \mathbf{x} \right) \right) $$ 특히, 3차원 공간에서 시점 $t$ 와 공간좌표 $\mathbf{x} = \left( x_{1} , x_{2} , x_{3} \right)$ 의 유속장을 위와 같은 속도벡터로 나타낸다고 하자.
뉴턴의 점성 법칙
유체역학에서, 비압축성이면서 등방성 유체에 가해지는 스트레스는 유속의 대칭화된 그래디언트에 정비례한다는 것을 뉴턴의 점성 법칙Newton’s law of viscosity이라 하고, 수식적으로는 스트레스의 텐서 $\tau \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ 와 유속장 $\mathbf{u}$ 의 자코비안 $\nabla \mathbf{u}$ 에 대해 다음과 같이 나타낸다. $$ \tau = \mu \left( \nabla \mathbf{u} + \left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T} \right) $$ 성분별로 적으면 다음과 같다. $$ \left( \tau \right)_{ij} = \mu \left( {\frac{ \partial u_{i} }{ \partial x_{j} }} + {\frac{ \partial u_{j} }{ \partial x_{i} }} \right) $$ 여기서 등장하는 $\mu$ 를 동점성dynamic viscosity계수라 한다. $\mu$ 는 밀도 $\rho$ 에 대해 다음과 같이 나타내기도 하는데, 이 때 등장하는 $\nu$ 를 운동점성kinematic viscosity이라 한다. $$ \mu = \rho \nu $$
뉴턴 유체
뉴턴의 점성 법칙을 따르는 유체를 뉴턴 유체Newtonian fluid라 하고, 뉴턴의 점성 법칙을 따르지 않는 유체를 비뉴턴 유체non-Newtonian fluid라 한다.
설명
흔히 뉴턴의 점성 법칙을 1차원 흐름부터 시작해서 $\tau = \mu du /dy$ 와 같은 상미분방정식과 함께 ‘전단 응력과 속도 구배의 선형 관계’로 요약하기도 하는데, 개인적인 견해로는 그 설명이 훨씬 더 어렵고 차원의 확장도 까다롭다. 보통은 기호가 1차원에선 $u$ 였다가 2차원에선 $u, v$ 였다가 3차원에선 $\mathbf{u}$ 가 되는 등 모르니만 못한 사족이 되는 경우를 많이 보았다. 이럴 바에는 처음부터 3차원 벡터함수로 시작하는 게 낫다고 본다.
뉴턴의 점성 법칙에 대한 직관적인 해석은 해당 유체가 ‘상식적인 유체라는 것’이다. 여기서 상식적이라는 것은 유체에 가해지는 힘에 따라 정직한 정도의 반발이 일어난다는 뜻이다.
비뉴턴 유체
그러냐 뉴턴의 점성 법칙을 따르지 않는 유체의 경우, 예를 들어 약한 힘에 대해서는 액체처럼 반응하다가 강한 힘이 가해지면 갑자기 고체처럼 변하는 등 우리의 직관과 다르게 반응할 수 있다.