유체역학에서의 오일러 방정식 유도
정리
$$ \mathbf{u} = \mathbf{u} \left( t ; \mathbf{x} \right) = \left( u_{1} \left( t ; \mathbf{x} \right) , u_{2} \left( t ; \mathbf{x} \right) , u_{3} \left( t ; \mathbf{x} \right) \right) $$ 특히, 3차원 공간에서 시점 $t$ 와 공간좌표 $\mathbf{x} = \left( x_{1} , x_{2} , x_{3} \right)$ 의 유속장을 위와 같은 속도벡터로 나타낸다고 하자. 그와 비슷하게, $p : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}$ 은 각 좌표에서 가해지는 압력 $p = p \left( \mathbf{x} \right)$ 을 나타낸다. $\mathbf{u}$ 가 비점성이고 비압축성인 유체의 유속이라면, 다음의 지배 방정식을 따른다. $$ {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }} + \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u} = - {\frac{ 1 }{ \rho }} \nabla p + \mathbf{g} $$ 여기서 $\nabla \cdot$ 은 발산, $\rho$ 는 밀도, $\mathbf{g}$ 는 중력가속도다.
설명
우변의 첫번째 항은 흔히 $\nabla w = \nabla p / \rho$ 와 같이 열역학적 일thermodynamic work으로 바꿔 적기도 한다.
오일러의 운동방정식은 뉴턴의 운동 제2법칙을 유체역학에 적용한 것으로 볼 수 있다.
유도 1
물질 미분의 우변은 다음과 같이 두 종류의 항을 포함하고 있다. $$ {\frac{ D \mathbf{u} }{ D t }} = {\color{red} {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }}} + {\color{blue} \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u}} $$ 여기서 첫번째 빨간 $\color{red} \partial \mathbf{u} / \partial t$ 를 국소가속local acceleration 혹은 더 간단히 관성항이라 부를 수도 있다. 두번째 파란 $\color{blue} \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u}$ 는 대류가속convective acceleration 혹은 더 간단히 대류항이라 부른다.
유체역학에서 유체 입자의 가속도는 물질 미분으로 표현되고 $\mathbf{u}$ 는 이미 속도벡터이므로, $\mathbf{u}$ 에 물질미분을 취한 것은 다음과 같이 어떤 가속도 $\mathbf{a}$ 와 중력가속도 $\mathbf{g}$ 의 합으로 나타낼 수 있을 것이다. $$ {\frac{ D \mathbf{u} }{ D t }} = \mathbf{a} + \mathbf{g} $$
이제 이 $\mathbf{a}$ 를 구해보자. 일반성을 잃지 않고, 가로, 세로, 높이의 변화량이 각각 $dx_{1} , dx_{2} , dx_{3}$ 이고 질량이 $m$ 인 미소직육면체의 안쪽 방향으로, 면과 수직하게 $\mathbf{F} = \left( F_{1} , F_{2} , F_{3} \right)$ 라는 힘이 작용한다고 하자.
압력 부피 응력: 표면적이 $A$ 인 물체에 가해지는 힘을 $F$ 라 할 때, $p = F / A$ 를 압력pressure이라 한다. 압력의 변화량 $\Delta p$ 를 부피 응력volume stress라 한다. 물체의 원래 부피 $V_{0}$ 와 부피의 변화량 $\Delta V$ 의 비 $\Delta V / V_{0}$ 를 부피 변형률volume strain이라 한다. 부피 응력과 부피 변형률의 비 $B$ 를 체적률bulk modulus라 한다. $$ B := \frac{\text{volume stress}}{\text{volume strain}} = - \frac{\Delta F / A}{\Delta V / V_{0}} = - \frac{\Delta P}{\Delta V / V_{0}} $$ 여기서 $B$ 의 정의에 있는 마이너스 부호는 압력이 증가할 때 부피가 감소하는 것을 반영해서 $B$ 가 양수가 되도록 하기 위해 필요하다.
힘은 압력과 면접의 곱인 $F = p A$ 로 나타낼 수 있으므로, 압력 $p$ 가 가해질 때 $F = F_{1}$ 는 압력 $p$ 와 면적 $A = d x_{2} d_{3}$ 의 곱인 $F_{1} = p d x_{2} d x_{3}$ 로 나타낼 수 있다. 압력이 가해지며 부피의 변화량은 음수가 되어야 하고, $dV = - dx_{1} dx_{2} dx_{3}$ 이므로 양변을 $x_{1}$ 으로 편미분하면 다음을 얻는다. $$ \begin{align*} & {\frac{ \partial F_{1} }{ \partial x_{1} }} = {\frac{ \partial p }{ \partial x_{1} }} d x_{2} d x_{3} \\ \implies & d F_{1} = {\frac{ \partial p }{ \partial x_{1} }} d x_{2} d x_{3} d x_{1} \\ \implies& d F_{1} = - {\frac{ \partial p }{ \partial x_{1} }} d V \end{align*} $$ 이는 $d F_{2}$ 와 $d F_{3}$ 에 대해서도 마찬가지로 성립하므로, 다음과 같이 잘 묶어서 벡터꼴로 쓸 수 있다. $$ \begin{align*} \begin{bmatrix} d F_{1} \\ d F_{2} \\ d F_{3} \end{bmatrix} =& - \begin{bmatrix} {\frac{ \partial p }{ \partial x_{1} }} \\ {\frac{ \partial p }{ \partial x_{2} }} \\ {\frac{ \partial p }{ \partial x_{3} }} \end{bmatrix} d V \\ \implies d \mathbf{F} =& - \nabla p d V \end{align*} $$
뉴턴의 운동법칙: $$ \mathbf{F}=m\mathbf{a} $$
밀도는 $\rho = m / V$ 와 같이 질량과 부피의 비로 정의되므로, 뉴턴의 제2운동법칙에서 양변을 질량 $m$ 으로 미분한 $d \mathbf{F} / dm = \mathbf{a}$ 에서 다음을 얻는다. $$ \begin{align*} \mathbf{a} =& {\frac{ d \mathbf{F} }{ d m }} \\ =& - {\frac{ \nabla p d V }{ \rho d V }} \\ =& - {\frac{ 1 }{ \rho }} \nabla p \end{align*} $$ 마지막으로 물질미분으로 표현된 $D \mathbf{u} / Dt = \mathbf{a} + \mathbf{g}$ 에 위에서 구한 $\mathbf{a}$ 를 대입하고 물질미분을 시간에 대한 미분과 발산항의 합으로 바꾸면 다음과 같이 오일러 방정식을 얻는다. $$ {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }} + \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u} = - {\frac{ 1 }{ \rho }} \nabla p + \mathbf{g} $$
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