📂유체역학

라메 파라미터

정리

$$ \mathbf{u} = \mathbf{u} \left( t ; \mathbf{x} \right) = \left( u_{1} \left( t ; \mathbf{x} \right) , u_{2} \left( t ; \mathbf{x} \right) , u_{3} \left( t ; \mathbf{x} \right) \right) $$ 특히, 3차원 공간에서 시점 $t$ 와 공간좌표 $\mathbf{x} = \left( x_{1} , x_{2} , x_{3} \right)$ 의 유속장을 위와 같은 속도벡터로 나타낸다고 하자. 이 유체가 점성과 압축성을 가지는 뉴턴 유체이라고 하자. 등방성이 가정되는 코시 스트레스 텐서 $\sigma$ 는 대칭화된 그래디언트 $\varepsilon$ 에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$ \sigma = - p I + 2 \mu \varepsilon + \lambda \tr \left( \varepsilon \right) I $$ 여기서 $I$ 는 항등행렬이다.

두 개의 스칼라 $\mu$ 와 $\lambda$ 를 라메 파라미터^{Lamé parameters}라 한다.

설명

굳이 순서를 따질 땐 $\lambda$ 를 첫번째, $\mu$ 를 두번째라 한다.

라메 파라미터는 코시 스트레스 텐서의 선형결합에서 등장하는 가중치로 볼 수 있는 매개변수로써, $\mu$ 는 점성에 관계되고 $\lambda$ 는 압축성에 관계된다. 코시 스트레스 텐서의 이러한 표현은 나비에-스톡스 방정식의 유도와 일반화에 있어서 중요한 역할을 한다.

증명 ¹

수학적으로 대단히 엄밀하다기보단, 직관적인 기하에서 출발하고 중간중간 ‘충분히 작은 양’에 대한 가정이 들어가며 근사를 많이 사용한다.

$\mathbf{u}$ 의 자코비안을 간단히 $\nabla \mathbf{u}$ 로 나타낸다고 하자. 이때, 다음과 같이 정의되는 행렬 연산 $\epsilon (\mathbf{u})$ 를 대칭화된 그래디언트^{symmetrized gradient}라 한다. $$ \varepsilon (\mathbf{u}) = {\frac{ 1 }{ 2 }} \left( \nabla \mathbf{u} + \left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T} \right) $$

가로 $x = x_{1}$, 세로 $y = x_{2}$, 높이 $z = x_{3}$ 가 각각 $dx$, $dy$, $dz$ 인 미소직육면체를 상정할텐데, 일반성을 잃지 않고 $x$ 축에 대해서 위와 같은 변형이 일어난다고 하겠다. 유체에서 등방성을 가정할 수 있으므로, $\sigma$ 는 다음과 같이 정수압^{hydrostatic pressure} $-p I$ 과 편향 스트레스^{deviatoric stress} $\tau$ 의 합으로써 시작하자. $$ \sigma = - p I + \tau $$

점성

변형률:

5. 물체의 원래 길이 $L_{0}$ 와 길이의 변화량 $\Delta L$ 의 비 $\Delta L / L_{0}$ 를 인장 변형률^{tensile strain}이라 한다.
6. 전단면이 수평방향으로 움직인 거리를 $\Delta x$ 라 하고 전단면의 높이를 $h$ 라 할 때, $\Delta x / h$ 를 전단 변형률^{shear strain}이라 한다.
7. 물체의 원래 부피 $V_{0}$ 와 부피의 변화량 $\Delta V$ 의 비 $\Delta V / V_{0}$ 를 부피 변형률^{volume strain}이라 한다.

우선 점성에 의한 변형률 텐서^{strain tensor} $S$ 를 다음과 같이 두자. $$ S = \begin{bmatrix} s_{xx} & s_{xy} & s_{xz} \\ s_{yx} & s_{yy} & s_{yz} \\ s_{zx} & s_{zy} & s_{zz} \end{bmatrix} $$

대전제에서 이 유체는 뉴턴 유체임을 가정했으므로 동점성 계수 $\mu$ 에 대해 $\tau = \mu S$ 와 같이 정비례 관계라 둘 수 있다. $$ \sigma = - p I + \mu S $$

여기서 수직으로 일어나는 변형률 $s_{xx}$ 는 원래 선분 $AB$ 의 길이 $L_{0} = \overline{AB}$ 에서 변형된 후의 선분 $ab$ 의 길이 $\overline{ab}$ 의 변화량 $\Delta L = \overline{ab} - \overline{AB}$ 와의 비 $\Delta L / L_{0}$ 로 나타낸다. 원래의 길이는 $\overline{AB} = dx$ 이고, 변형된 후의 길이 $\overline{ab}$ 는 유속 $\mathbf{u} = \left( u_{x} , u_{y} , u_{z} \right)$ 의 영향을 받아 변한다. 다만 여기선 $z$-축을 생략하고 계산했을 때 다음과 같다. $$ \begin{align*} \overline{ab} =& \sqrt{ \left( dx + {\frac{ \partial u_{x} }{ \partial x }} dx \right)^{2} + \left( {\frac{ \partial u_{y} }{ \partial x }} dx \right)^{2} } \\ =& dx \sqrt{ \left( 1 + {\frac{ \partial u_{x} }{ \partial x }} \right)^{2} + \left( {\frac{ \partial u_{y} }{ \partial x }} \right)^{2} } \end{align*} $$

$x$ 축의 변화에 따른 $y$ 방향의 유속의 변화, 즉 $\partial u_{y} / \partial x$ 가 충분히 작다고 가정하면 $\overline{ab}$ 는 다음과 같이 축약된다. $$ \overline{ab} = dx + {\frac{ \partial u_{x} }{ \partial x }} dx $$ 이에따라 $x$-축 방향의 수직 변형 $s_{xx}$ 은 다음과 같다. $$ \begin{align*} s_{xx} =& {\frac{ \Delta L }{ L_{0} }} \\ =& {\frac{ \overline{ab} - \overline{AB} }{ \overline{AB} }} \\ =& {\frac{ \left( dx + {\frac{ \partial u_{x} }{ \partial x }} dx \right) - dx }{ dx }} \\ =& {\frac{ \partial u_{x} }{ \partial x }} \end{align*} $$

같은 이유로 $s_{yy}$ 와 $s_{zz}$ 도 다음과 같이 구할 수 있다. $$ \begin{align*} s_{yy} =& {\frac{ \partial u_{y} }{ \partial y }} \\ s_{zz} =& {\frac{ \partial u_{z} }{ \partial z }} \end{align*} $$

전단 변형 $s_{xy}$ 는 다음과 같이 $\overline{AB}$ 가 $\overline{ab}$ 로 변형되면서 생긴 각도 $\alpha$ 와 $\overline{AC}$ 가 $\overline{ac}$ 로 변형되면서 생긴 각도 $\beta$ 의 합으로 나타내려 한다. $$ s_{xy} = \alpha + \beta $$ $\alpha$ 와 $\beta$ 는 충분히 작은 각도에서 $\tan \alpha \approx \alpha$ 와 $\tan \beta \approx \beta$ 같이 삼각함수를 취하기 전의 값 자체로 근사할 수 있다. $$ \begin{align*} \alpha \approx& \tan \alpha = {\frac{ {\frac{ \partial u_{y} }{ \partial x }} dx }{ dx + {\frac{ \partial u_{x} }{ \partial x }} dx }} = {\frac{ \partial u_{y} }{ \partial x }} {\frac{ 1 }{ 1 + {\frac{ \partial u_{x} }{ \partial x }} }} \\ \beta \approx& \tan \beta = {\frac{ {\frac{ \partial u_{x} }{ \partial y }} dy }{ dy + {\frac{ \partial u_{y} }{ \partial y }} dy }} = {\frac{ \partial u_{x} }{ \partial y }} {\frac{ 1 }{ 1 + {\frac{ \partial u_{y} }{ \partial y }} }} \end{align*} $$

$\partial u_{x} / \partial x$ 와 $\partial u_{y} / \partial y$ 가 $1$ 보다 훨씬 작을테니, $s_{xy} = s_{yx}$ 는 다음과 같이 근사할 수 있다. $$ s_{xy} = s_{yx} = \alpha + \beta \approx {\frac{ \partial u_{x} }{ \partial y }} + {\frac{ \partial u_{y} }{ \partial x }} $$

$S$ 를 직접 적어보면 다음과 같다. $$ S = \begin{bmatrix} {\frac{ \partial u_{x} }{ \partial x }} & {\frac{ \partial u_{x} }{ \partial y }} + {\frac{ \partial u_{y} }{ \partial x }} & {\frac{ \partial u_{x} }{ \partial z }} + {\frac{ \partial u_{z} }{ \partial x }} \\ {\frac{ \partial u_{y} }{ \partial x }} + {\frac{ \partial u_{x} }{ \partial y }} & {\frac{ \partial u_{y} }{ \partial y }} & {\frac{ \partial u_{y} }{ \partial z }} + {\frac{ \partial u_{z} }{ \partial y }} \\ {\frac{ \partial u_{z} }{ \partial x }} + {\frac{ \partial u_{x} }{ \partial z }} & {\frac{ \partial u_{z} }{ \partial y }} + {\frac{ \partial u_{y} }{ \partial z }} & {\frac{ \partial u_{z} }{ \partial z }} \end{bmatrix} $$

대칭화된 그래디언트: $$ \varepsilon (\mathbf{u}) = {\frac{ 1 }{ 2 }} \left( \nabla \mathbf{u} + \left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T} \right) $$

이에 대칭화된 그래디언트가 되게끔 항을 분해해보면 다음과 같이 간결한 표현을 얻는다. $$ \begin{align*} \sigma =& - p I + \tau \\ =& - p I + \mu S \\ =& - p I + \mu 2 {\frac{ 1 }{ 2 }} \left( \nabla \mathbf{u} + \left( \nabla \mathbf{u} \right)^{T} \right) \\ =& - p I + 2 \mu \varepsilon \end{align*} $$

압축성

유체가 압축성이 있어서 부피의 변형률까지 반영한다고 하자. 수식적으로는 다음과 같이 $W = \lambda \delta$ 가 더해지는 식이다. $$ \sigma = - p I + 2 \mu \varepsilon + W $$

원래의 부피는 $V_{0} = dx dy dz$ 이고, 변형 후의 부피 $V$ 는 다음과 같다. $$ \begin{align*} V =& \left( dx + {\frac{ \partial u_{x} }{ \partial x }} dx \right) \left( dy + {\frac{ \partial u_{y} }{ \partial y }} dy \right) \left( dz + {\frac{ \partial u_{z} }{ \partial z }} dz \right) \\ =& dx dy dz \left( 1 + {\frac{ \partial u_{x} }{ \partial x }} \right) \left( 1 + {\frac{ \partial u_{y} }{ \partial y }} \right) \left( 1 + {\frac{ \partial u_{z} }{ \partial z }} \right) \\ =& dx dy dz \left( 1 + s_{xx} \right) \left( 1 + s_{yy} \right) \left( 1 + s_{zz} \right) \\ =& V_{0} \left( 1 + s_{xx} + s_{yy} + s_{zz} + s_{xx} s_{yy} + s_{yy} s_{zz} + s_{zz} s_{xx} + s_{xx} s_{yy} s_{zz} \right) \end{align*} $$ $1 \gg s_{xx} \gg s_{xx} s_{yy}$ 이므로 두 번 이상 곱해진 항들은 무시할 수 있고, 부피 변형률 $\delta$ 는 다음과 같이 근사할 수 있다. $$ \delta = {\frac{ \Delta V }{ V_{0} }} = {\frac{ V - V_{0} }{ V_{0} }} = s_{xx} + s_{yy} + s_{zz} $$ 마침 $\delta = \tr \left( S \right) = \tr \left( \varepsilon \right)$ 이고, 이러한 변형률이 각 차원별로 동일하게 반영되므로 항등행렬 $I$ 가 곱해져서 각 차원별로 더한 형태로써 다음을 얻는다. $$ \sigma = - p I + 2 \mu \varepsilon + \lambda \tr \left( \varepsilon \right) I $$

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