📂추상대수

추상대수학에서의 군

정의 ¹

모노이드 $\left< G, \ast\ \right>$ 의 원소 $a$ 와 항등원 $e$ 대해 $a \ast\ a’ = a’ \ast\ a = e$ 를 만족하는 $a '$ 가 존재하면 $\left< G, \ast\ \right>$를 군^group이라고 정의한다. 즉, 군은 아래의 성질들을 만족하는 이항연산구조다.

• (i): 연산에 대해 결합법칙이 성립한다.
• (ii): 모든 원소에 대해 항등원이 존재한다.
• (iii): 모든 원소에 대해 역원이 존재한다.

설명

마그마부터 시작해 반군, 모노이드를 거쳐 드디어 군까지 왔다. 별 것 아닌것처럼 보이지만 마그마와 비교해보면 어느새 조건이 꽤 늘어 있다. 연산에 대해 닫혀있고, 결합법칙이 성립하며, 항등원과 역원이 존재해야므로 아무거나 가져와서 군이라 하기는 힘들어 진것이다.

군을 공부하는 이유는 그래도 다른 대수적 구조보다는 훨씬 간단하고 쉽기 때문이다. 군보다 조건이 적어지면 유용한 성질도 적어지고, 군보다 조건이 많으면 써먹을 곳이 줄어든다.

우선 대수학에서 관심을 가지는 대수적 구조들 대부분이 기본적으로 군을 바탕으로 하고 있고, 대수학은 정수론을 위시한 순수수학부터 암호론과 같이 일상생활에 녹아 든 응용수학에도 응용되고 있다. 수학 외에는 놀랍게도 물리학에서 군론이 사용된다고 한다.

모노이드가 되면서 군이 되지 못하는 예시를 하나 살펴보도록 하자.

정방행렬의 집합 $\mathbb{R}^{n \times n}$ 에 대해, 모노이드 $\left< \mathbb{R}^{n \times n} , \cdot \right>$ 은 군이 아니다.

• 행렬 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 에 대해, $\det A = 0$ 이면 $A^{-1}$ 가 존재하지 않는다.

물론 집합에 제한을 주면 이 역시 군이 될 수 있다.

역행렬이 존재하는 정방행렬의 집합 $\text{GL}_{n} (\mathbb{R}) = \left\{ A \in \mathbb{R}^{n \times n} \ | \ \det A \ne 0 \right\}$ 에 대해, 모노이드 $\left< \text{GL}_{n} (\mathbb{R}) , \cdot \right>$ 은 군이다.

• $\left< \mathbb{R}^{n \times n} , \cdot \right>$ 의 부분 모노이드 $\left< \text{GL}_{n} (\mathbb{R}) , \cdot \right>$ 는 $\text{GL}_{n} (\mathbb{R})$ 의 정의에 의해 곱셈에 대한 역원을 가지므로 군이다.

대칭성?

흔히 군의 개념을 잡을 때는 대칭성에 대한 이야기로 시작되거나 아예 수학적인 정의만으로 쌓아올라가곤 한다.

대칭성의 예시로써는 루빅스 큐브를 돌리거나 가만히 두거나(항등원) 되돌리는(역원) 등의 행동으로 많이 언급된다. 하지만 이러한 설명은 대칭성을 가지는 구조가 군의 구조임을 알기는 쉽지만 군의 구조가 대칭성을 가짐을 이해시키긴 어렵다. 수학적인 정의를 따르는 군의 모양에서 대칭이란 역원의 개념을 떠올리는 것이 좋다.

$a$ 가 존재한다면 군의 정의에 의해 그에 대응되는 $a '$ 가 반드시 존재한다.

한편 $a '$ 역시 그에 대응되는 $a’’=a$ 가 존재하므로, 이러한 관계에서 대칭을 떠올리는 것은 자연스럽다고 할 수 있을 것이다. 모노이드와 군의 차이점은 실로 역원 뿐이므로 개념과 정의가 더욱 타당하게 맞아떨어짐이 확인된다.

마침 대칭 이야기가 나왔으니 대칭에 딱 맞는 군의 예를 보도록 하자.

모노이드 $\left< \mathbb{Z} , + \right>$ 는 군이다.

• 정수 $a$ 에 대해, $-a$ 는 항상 $a + (-a) = 0$ 을 만족하는 역원이 된다.

$1$ 이 존재하면 항등원 $0$ 을 중심으로 대칭인 $-1$ 이 존재하고, $-2$ 에 대해선 $2$ 가 존재하고… $n$ 에 대해선 $-n$ 이 존재한다. 대칭이라는 의미에서 생각해보면 상당히 자연스러운 예시다.

일반적으로 군만을 다룰 땐 군 $\left< G, \ast\ \right>$ 는 그냥 $G$ 로 나타내며, 연산은 별다른 언급이 없으면 $\cdot$ 로 쓴다. 다만 $\left< \mathbb{Z} , + \right>$ 와 같이 맥락상 덧셈이 확실한 경우엔 $+$로 쓰는 등 그때그때 알맞게 적절한 연산을 사용한다.