📂통계적분석

분수계 아리마 모형 FARIMA

모델 ^{1 2}

허스트 인덱스를 $H$ 와 같이 나타내자. 백색 잡음 $e_{t}$ 과 백쉬프트 오퍼레이터 $B$ 그리고 차분 레벨^{level of differencing} $d = H - 1/2$ 에 대해 $$ \left( 1 - \sum_{i=1}^{p} \phi_{i} B^{i} \right) \left( 1 - B \right)^{d} Y_{t} = \left( 1 + \sum_{i=1}^{q} \theta_{i} B^{i} \right) e_{t} $$ 과 같이 정의된 $\left\{ Y_{t} \right\}_{t \in \mathbb{N}}$ 을 $\left( p , d , q \right)$차 분수계 아리마 모형^{Fractional ARIMA Model} $\text{FARIMA} \left( p , d , q \right)$ 이라 한다.

설명

아리마 모형: $$ \nabla^{d} Y_{t} := \sum_{i = 1}^{p} \phi_{i} \nabla^{d} Y_{t-i} + e_{t} - \sum_{i = 1}^{q} \theta_{i} e_{t-i} $$

이항급수: $$ \begin{align*} (1 + x )^{\alpha} =& \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k} x^{k} \\ =& 1 + \alpha x + \dfrac{\alpha (\alpha-1)}{2!}x^{2} + \dfrac{\alpha (\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^{3} + \cdots \end{align*} $$

분수계 아리마 모형은 그 자체로 아리마 모형의 일반화로써, $\nabla^{d} = \left( 1 - B \right)^{d}$ 가 실수 $d \in \mathbb{R}$ 에 대해 형식적인 급수전개를 응용한다. $$ \left( 1 - B \right)^{d} = 1 - d B + {\frac{ d (d-1) }{ 2! }} B^{2} - {\frac{ d (d-1) (d-2) }{ 3! }} B^{3} + \cdots $$

자기회귀과정 $\text{AR}(p)$ 의 파라미터 $p$ 는 $d$ 로 인한 무한급수를 근사하기 위해 결정되며, 정상성을 위한 차분이 문제가 되는 경우 돌파구가 될 수 있을 것이다.

당연하다면 당연한건데, 모형의 실질적인 구현은 수식이 그러하듯 사실상 자기회귀항을 많이 포함하는 것과 다름없다. 파리마의 장점을 장기 메모리에 강하다고 하는데, 실제로 긴 시계열 데이터가 들어갔으니 그럴 수밖에 없다. 물론 단점은 그만큼 계산량이 늘어난다는 것이고, 부차적으로는 모델의 해석이 어려워지기도 한다.