지배 방정식이란?
용어
주로 동역학계와 같이 주어진 시스템에서, 시스템의 상태state를 설명하는 변수variable로 이루어진 방정식을 지배 방정식governing equation이라 한다.
설명
$$ x_{t+1} = r x_{t} (1 - x_{t}) $$ 예로써 ‘토끼의 개체수’라는 상태를 $x_{t}$ 라는 변수로 나타낸다고 한다면, 흔히 이러한 시스템은 위와 같이 로지스틱 맵으로 설명할 수 있을 때 위의 동역학계를 설명하는 맵을 지배 방정식이라 부를 수 있다.
지배 방정식은 주로 복잡한 시스템을 다루는 경우가 많다보니 미분방정식으로 표현되는 경우가 많은데, 이를테면 감염병을 모델링하기 위한 SIR 모델은 다음과 같은 상미분방정식을 지배 방정식으로 삼는다. $$ \begin{align*} {{d S} \over {d t}} =& - {{ \beta } \over { N }} I S \\ {{d I} \over {d t}} =& {{ \beta } \over { N }} S I - \mu I \\ {{d R} \over {d t}} =& \mu I \end{align*} $$
더 복잡하게는 유체역학 등에서 오일러 방정식은 다음과 같은 편미분방정식으로써, 유속을 변수 $\mathbf{u}$ 로 설명하는 지배 방정식이다. $$ {\frac{ D \mathbf{u} }{ D t }} = - {\frac{ 1 }{ \rho }} \nabla P + \mathbf{g} $$