탄성계수의 여러가지 정의
정의 1
- 물체의 변형deformation을 일으키는 힘을 응력 혹은 스트레스stress라 한다.
- 응력의 결과로써, 변형의 정도를 측정한 양을 변형률strain이라 한다.
- 응력과 변형률의 비를 탄성계수elastic modulus라 한다. $$ \text{elastic modulus} = \frac{\text{stress}}{\text{strain}} $$
탄성계수에는 흔히 세가지 종류가 있다.
길이의 탄성
- 외부에서 가해지는 힘 $F$ 과 수직한 단면적 $A$ 의 비 $F / A$ 를 인장 응력tensile stress라 한다.
- 물체의 원래 길이 $L_{0}$ 와 길이의 변화량 $\Delta L$ 의 비 $\Delta L / L_{0}$ 를 인장 변형률tensile strain이라 한다.
- 인장 응력과 인장 변형률의 비 $Y$ 를 영률Young’s modulus이라 한다. $$ Y := \frac{\text{tensile stress}}{\text{tensile strain}} = \frac{F / A}{\Delta L / L_{0}} $$
형태의 탄성
- 물체가 면적이 $A$ 인 전단면에 접하며 미는 힘을 $F$ 라 할 때, 힘과 면적의 비 $F / A$ 를 전단 응력shear stress이라 한다.
- 전단면이 수평방향으로 움직인 거리를 $\Delta x$ 라 하고 전단면의 높이를 $h$ 라 할 때, $\Delta x / h$ 를 전단 변형률shear strain이라 한다.
- 전단 응력과 전단 변형률의 비 $S$ 를 전단률shear modulus라 한다. $$ S := \frac{\text{shear stress}}{\text{shear strain}} = \frac{F / A}{\Delta x / h} $$
부피의 탄성
- 표면적이 $A$ 인 물체에 가해지는 힘을 $F$ 라 할 때, $P = F / A$ 를 압력pressure이라 한다. 압력의 변화량 $\Delta P$ 를 부피 응력volume stress라 한다.
- 물체의 원래 부피 $V_{0}$ 와 부피의 변화량 $\Delta V$ 의 비 $\Delta V / V_{0}$ 를 부피 변형률volume strain이라 한다.
- 부피 응력과 부피 변형률의 비 $B$ 를 체적률bulk modulus라 한다. $$ B := \frac{\text{volume stress}}{\text{volume strain}} = - \frac{\Delta F / A}{\Delta V / V_{0}} = - \frac{\Delta P}{\Delta V / V_{0}} $$
- 체적률의 역수 $B^{-1}$ 를 압축률compressibility이라 한다.
여기서 $B$ 의 정의에 있는 마이너스 부호는 압력이 증가할 때 부피가 감소하는 것을 반영해서 $B$ 가 양수가 되도록 하기 위해 필요하다.
설명
다른 건 그렇다 쳐도 전단 응력에 대해서는 직관적으로 이해하기 어려울 수 있는데, 흔히 위 그림과 같이 두꺼운 책을 위에서 누르며 옆으로 밀면서 일어나는 변형을 예로 들 수 있겠다.
- 액체와 기체를 합쳐서 부르는 말
- 무작위로 배열되고 서로 모여있는 분자들의 모임2
- 정지상태에서는 수직 응력이 작용하고, 유동 상태에서는 전단력이 미치면 연속적으로 변형이 일어나서 흐르는 물질1
그러나 실제로 전단 스트레스에 대해 접할 땐 두꺼운 책이 밀리는 현상에 관심이 있지는 않고, 적어도 유체와 같은 물질을 다룰 때 접할 일이 많아질 것이다.
대뜸 유체의 정의에서 ‘수직 응력이 작용하고 전단력에 의해 변형이 일어난다’는 설명을 보면 이해하기 어렵지만, 두꺼운 책의 예시에서처럼 ‘옆으로 밀려난다’는 전단 응력의 개념을 이해하고 나면 한결 선명하게 유체의 움직임을 상상할 수 있다.
정지상태에서 수직 응력이 작용한다는 것은 말 그대로 수직으로 쏟아지며 무너져내리는 성질이다. 중력이나 대기압 등에 의해 위에서 아래로 향하는 스트레스를 받으면, 갑작스러운 파괴가 일어나지 않고 연속적인 변형이 일어난다. 반면 유동상태에서 전단 응력이 작용한다는 것은 수평 방향으로 흐르며 일어나는 변형을 이끈다.