📂기하학

포물선의 광학적 성질 증명

정리

포물선 위의 한 점 $P$ 와 초점 $F$ 그리고 준선 $l$ 에 대해, $P$ 에서의 접선과 준선 $l$ 과 수직인 선, $\overline{PF}$ 과 이루는 각의 크기를 각각 $\alpha$ 와 $\beta$ 라고 하면, $\alpha$ 와 $\beta$ 는 같다.

설명

쉽게 말해, 포물선의 초점에서 나온 빛은 준선과 수직한 방향으로 뻗어나간다는 것이다.

빛이 직선으로 뻗는다는 점에서 효율적으로 에너지를 전달할 수 있어 헤드라이트 같은 조명이나 위성접시 안테나 등에 활용된다고 한다.

증명 ¹

$$ y^{2} = 4 a x $$ 포물선의 방정식이 위와 같이 주어져 있고, $P$ 에서의 접선이 $x$축과 만나는 점을 $Q$ 라고 하자. 매개변수 $t$ 에 대해 접선의 방정식 그리고 $P(t)$ 와 $Q(t)$ 의 좌표는 각각 다음과 같다. $$ \begin{align*} y =& {\frac{ 1 }{ t }} x + a t \\ P(t) =& \left( a t^{2} , 2 a t \right) \\ Q(t) =& \left( - a t^{2} , 0 \right) \end{align*} $$ $\overline{QF}$ 의 길이는 다음과 같다. $$ \left| - a t^{2} - a \right| = a \left( t^{2} + 1 \right) $$ $\overline{FP}$ 의 길이는 다음과 같다. $$ \begin{align*} & \sqrt{ \left( a t^{2} - a \right)^{2} + \left( 2 a t - 0 \right)^{2} } \\ =& \sqrt{ a^{2} t^{2} - 2 a^{2} t^{2} + a^{2} + 4 a^{2} t^{2} } \\ =& \sqrt{ a^{2} t^{4} + 2 a^{2} t^{2} + a^{2} } \\ =& a \sqrt{ t^{4} + 2 t^{2} + 1 } \\ =& a \left( t^{2} + 1 \right) \end{align*} $$

두 선분 $\overline{QF}$ 와 $\overline{FP}$ 의 길이가 같으므로 삼각형 $\triangle{FPQ}$ 는 이등변삼각형이고, $\alpha = \beta$ 임을 알 수 있다.

■

같이보기

• 포물선의 광학적 성질
• 타원의 광학적 성질
• 쌍곡선의 광학적 성질 증명