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부분공간의 직교여공간 📂선형대수

부분공간의 직교여공간

정의1

벡터공간 VV 의 부분공간 WW 에 대해서 집합

W⊥={v∈V :⟨v,w⟩=0,∀w∈W} W^{\perp} = \left\{ \mathbf{v} \in V \ : \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{w} \right\rangle = 0,\quad \forall \mathbf{w} \in W \right\}

를 WW 의 직교여공간orthogonal complement이라한다. 이때 ⟨,⟩\langle , \rangle 는 내적이다.

설명

다시말해 W⊥W^{\perp}은 WW 의 모든 원소와 수직인 벡터를 모아놓은 집합이다. 기호 ⊥^{\perp} 는 perpendicular를 줄여서 perp[펍]으로 읽는다. 단어 그대로의 정의기 때문에 특히 유클리드 공간에선 쉽게 받아들일 수 있는 정의다. 간단한 예시로 R3\mathbb{R}^{3} 에서 W=span{(1,0,0),(0,1,0)}W = \text{span} \left\{ (1,0,0) , (0,1,0) \right\} 이라고 하면 W⊥=span{(0,0,1)}W^{\perp} = \text{span} \left\{ (0,0,1) \right\} 가 된다.

성질

WW와 RR 을 Rn\mathbb{R}^{n} 의 부분공간, A∈Mm×n(R)A \in M_{ m \times n}(\mathbb{R}) 이라고 하자. 그러면 다음의 성질들을 만족한다.

[1] (W⊥)⊥=W( W^{\perp} ) ^{\perp} = W

[2] W⊕W⊥=Rn W \oplus W^{\perp} = \mathbb{R}^{n}

[3] R⊂W  ⟺  W⊥⊂R⊥R \subset W \iff W^{\perp} \subset R^{\perp}

[4] N(A)⊥=R(A)\mathcal{N} (A)^{\perp} = \mathcal{R} (A)

[5] C(A)⊥=N(AT)\mathcal{C} (A)^{\perp} = \mathcal{N} (A^{T})

[6] Rm=C(A)⊕N(AT)\mathbb{R}^m = \mathcal{C} (A) \oplus \mathcal{N} (A^{T})

[7] Rn=R(A)⊕N(A)\mathbb{R}^n = \mathcal{R} (A) \oplus \mathcal{N}(A)

이러한 성질들 역시 직교여공간의 정의를 생각해보면 당연하다고 할 수 있다. 단 [2] 는 체크해야할 것이 많아서 조금 까다롭다. 이러한 성질들과 함께 중요한 것이 바로 영공간과 열공간을 함께 고려할 때의 성질들이다.

위의 성질들은 언뜻 복잡해 보이지만 다행스럽게도 ⊥\perp 가 TT 의 뒤집힌 모양으로 보면 외우는 게 어렵지는 않다. 안밖으로 넘나들면서 N\mathcal{N} 과 CC 를 반전시킨다고 보면 전혀 헷갈릴 것이 없다.

한편 계수-퇴화차수 정리는 [6], [7] 의 결과에 dim⁡\dim 을 취한 것으로 볼 수도 있을 것이다.

정리

WW가 내적공간 VV 의 부분공간이면 다음이 성립한다.

(a) W⊥W^{\perp} 는 VV 의 부분공간이다.

(b) W∩W⊥={0}W \cap W^{\perp} = \left\{ \mathbf{0} \right\}

증명

(a)

모든 w∈W\mathbf{w} \in W 에 대해서 ⟨w,0⟩=0\langle \mathbf{w}, \mathbf{0} \rangle = 0이므로 적어도 0\mathbf{0} 는 W⊥W^{\perp} 에 포함된다. 그러면 공집합이 아니므로 덧셈과 상수배에 대해서 닫혀있는지만 보면 된다. u,v∈W⊥\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W^{\perp} k∈Rk\in R이라고 하자. 그러면 다음의 식이 성립한다.

⟨u+v,w⟩=⟨u,w⟩+⟨v,w⟩=0+0=0⟨ku,w⟩=k⟨u,v⟩=k⋅0=0 \begin{align*} \langle \mathbf{u} + \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle =& \langle \mathbf{u}, \mathbf{w} \rangle + \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = 0 + 0 = 0 \\ \langle k \mathbf{u}, \mathbf{w} \rangle =& k \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = k \cdot 0 = 0 \end{align*} 따라서 W⊥W^{\perp} 는 부분공간이다.

■

(b)

v∈W∩W⊥\mathbf{v} \in W \cap W^{\perp}라고 하자. 그러면 v\mathbf{v} 는 v\mathbf{v}와 수직이라는 의미이므로

⟨v,v⟩=0 \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle = 0

이고 이를 만족하는 v\mathbf{v} 는 내적의 정의에 의해 0\mathbf{0} 뿐이다.

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  1. Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Aplications Version(12th Edition). 2019, p356~357 ↩︎