📂동역학

랴푸노프 스펙트럼의 정의

정의

공간 $X = \mathbb{R}^{n}$ 와 함수 $f : X \to X$ 에 대해 다음과 같은 벡터필드가 미분 방정식으로 주어져 있다고 하자. $$ \dot{x} = f(x) $$

쉬운 정의

플로우 $F_{T} (v)$ 의 타임-$1$ 맵에 대한 다차원 맵의 랴푸노프 수와 랴푸노프 지수를 각각 $F_{T} (v)$ 의 랴푸노프 수^{Lyapunov number}, 랴푸노프 지수^{Lyapunov exponent}라 정의한다¹.

어려운 정의

변분 방정식: $f$ 의 자코비안 행렬 $J$ 에 대해 다음을 변분 방정식^{variational equation}이라 한다. $$ \dot{Y} = J Y $$ 여기서 행렬함수 $Y = Y(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 의 초기 조건은 항등행렬 $Y(0) = I$ 로 둔다. … 기하적으로, $Y$ 는 원래 시스템의 $x(0)$ 에서 조금 움직인 $x(t)$ 로 변하는동안 그 탄젠트 벡터 자체가 어떻게 작용하는지를 보여준다고 생각할 수 있다.

$$ \lambda_{k} := \lim_{t \to \infty} \log \left[ \left( {\frac{ \left\| Y(t, v) v \right\| }{ \left\| v \right\| }} \right)^{1/t} \right] $$ 위와 같이 정의된 $\left\{ \lambda_{1} , \cdots , \lambda_{n} \right\}$ 를 랴푸노프 스펙트럼^{Lyapunov spectrum}이라 하거나, $$ \Lambda_{v} := \lim_{t \to \infty} \left[ Y(t)^{\ast} Y(t) \right]^{1/2t} $$ 위와 같이 정의된 행렬 $\Lambda_{v}$ 의 고유값 $\mu_{1} , \cdots , \mu_{n}$ 에 로그를 취한 $\lambda_{k} := \log \mu_{k}$ 를 랴푸노프 스펙트럼이라 한다².

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• $Y^{\ast}$ 는 행렬 $Y$ 의 켤레전치행렬이다.

설명

사실 두 정의 모두 그렇게 간단하지만은 않은데, 실제로도 연속적인 시스템에서 랴푸노프 스펙트럼이라는 것을 이해하고 다루는 것은 꽤 녹록치 않은 일이다.

1차원 맵의 랴푸노프 수와 마찬가지로, 랴푸노프 스펙트럼의 그 모티브는 $x_{0}$ 와 $x_{0} + \delta_{0}$ 사이의 작은 차이인 $\delta_{0}$ 와 $t$만큼의 시간이 지난 후의 차이인 $\delta_{t}$ 를 다음과 같이 어떤 $\lambda$ 에 관계된 식으로 표현하겠다는 것에서 시작한다. $$ \left| \delta_{t} \right| \approx \left| \delta_{0} \right| e^{t \lambda} $$ $t = N$ 시점에서 $T_{N}$ 이라는 오퍼레이터가 $T_{N} : v_{N} \mapsto v_{N+1}$ 과 같이 매핑의 역할을 한다고 두면, $T_{N}$ 이 공간을 팽창 혹은 축소시키는 비율의 기하평균은 다음과 같다. $$ \left( {\frac{ \left\| T_{1} v \right\| }{ \left\| v \right\| }} \cdot {\frac{ \left\| T_{2} v \right\| }{ \left\| T_{1} v \right\| }} \cdot \cdots \cdot \cdot {\frac{ \left\| T_{N} v \right\| }{ \left\| T_{N-1} v \right\| }} \right)^{1/N} = \left( {\frac{ \left\| T_{N} v \right\| }{ \left\| v \right\| }} \right)^{1/N} $$ 연속적인 시스템에서는 변분 장정식의 $Y$ 가 $T_{n}$ 의 역할을 하는데, 이에 따라 정규직교집합 $\left\{ v_{1} , \cdots , v_{n} \right\}$ 의 $v_{k}$ 에 대한 $k$번째 랴푸노프 지수 $\lambda_{k}$ 는 다음과 같이 정의된다³.

$$ \begin{align*} \lambda_{k} :=& \lim_{t \to \infty} \log \left[ \left( {\frac{ \left\| Y(t, v) v \right\| }{ \left\| v \right\| }} \right)^{1/t} \right] \\ =& \lim_{t \to \infty} {\frac{ 1 }{ t }} \log \left( \left\| Y(t, v) v \right\| - \left\| v \right\| \right) \\ =& \lim_{t \to \infty} {\frac{ 1 }{ t }} \log \left\| Y(t, v) v \right\| \end{align*} $$

한편 $Y(t,u)$ 의 특이값 분해 $Y = U \Sigma V^{\ast}$ 에 따라 $k$번째 특이값 $\sigma_{k} (t)$ 는 $U, V$ 의 $k$번째 칼럼벡터 $u_{k}, v_{k}$ 에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다⁴. $$ Y V = U \Sigma \implies Y v_{k} = \sigma_{k} (t) u_{k} $$

이는 $Y$ 의 특이값, 즉 고유값에 해당하는 개념이 랴푸노프 스펙트럼과 연관되어 있다는 단서를 준다. 실제로 $Y$ 의 좌측에 $Y^{\ast} = V \Sigma^{\ast} U^{\ast}$ 를 곱한 $$ Y^{\ast} Y = V \Sigma^{2} V^{\ast} $$ 의 고유값은 $\sigma_{k}^{2} (t)$ 임을 어렵지 않게 짐작할 수 있고, $$ \Lambda_{v} := \lim_{t \to \infty} \left[ Y(t)^{\ast} Y(t) \right]^{1/2t} $$ 와 같이 정의된 행렬 $\Lambda_{v}$ 의 고유값 $\mu_{k}$ 에 로그를 취한 $\log \mu_{k}$ 는 랴푸노프 스펙트럼이 된다. 앞서 언급한 $Y v_{k} = \sigma_{k} (t) u_{k}$ 와 연결지어 생각해보면, $$ \begin{align*} \log \mu_{k} =& \log \lim_{t \to \infty} \left[ \sigma_{k}^{2} (t) \right]^{1/2t} \\ =& \lim_{t \to \infty} \log \left[ \sigma_{k} (t) \right]^{1/t} \\ =& \lim_{t \to \infty} {\frac{ 1 }{ t }} \log \sigma_{k} (t) \\ =& \lim_{t \to \infty} {\frac{ 1 }{ t }} \log \left\| \sigma_{k} (t) u \right\| \\ =& \lim_{t \to \infty} {\frac{ 1 }{ t }} \log \left\| Y(t, v) v \right\| \\ =& \lambda_{k} \end{align*} $$ 와 같이 직관으로써 두 정의가 같음을 받아들일 수 있다.