📂동역학

변분 방정식

정의 ^{1 2}

공간 $X = \mathbb{R}^{n}$ 와 함수 $f : X \to X$ 에 대해 다음과 같은 벡터필드가 미분 방정식으로 주어져 있다고 하자. $$\dot{x} = f(x)$$ $f$ 의 자코비안 행렬 $J$ 에 대해 다음을 변분 방정식^{variational equation}이라 한다. $$\dot{Y} = J Y$$ 여기서 행렬함수 $Y = Y(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 의 초기 조건은 항등행렬 $Y(0) = I$ 로 둔다.

설명

자코비안 행렬 $J$ 역시 원래 시스템의 트래젝터리 $x(t)$ 에 따라 계속해서 변하는 행렬함수 $J = J(t) = J \left( x(t) \right)$ 기 때문에, 변분 방정식은 눈에 보이는 것처럼 단순한 선형 미분 방정식이 아니다.

기하적으로, $Y$ 는 원래 시스템의 $x(0)$ 에서 조금 움직인 $x(t)$ 로 변하는동안 그 탄젠트 벡터 자체가 어떻게 작용하는지를 보여준다고 생각할 수 있다.

랴푸노프 스펙트럼

연속적인 시스템에서 랴푸노프 스펙트럼을 계산할 때, 변분 방정식을 푼다는 것은 $Y(t)$ 를 반복해서 계산해서 기하적으로 오픈 볼이 어떻게 변형되는지를 보며 그 축의 길이를 재는 것이다. 이에 대응되는 RK4는 다음과 같이 선형 시스템 $\dot{Y} = J Y$ 을 선형 변환 $T_{J}$ 에 대해 $$\dot{U} = T_{J} (U) = J U$$ 로 표현되는 것으로 보고 푸는 메서드가 된다. 따라서, 충분히 짧은 타임스텝 $h$ 이 주어졌을 때 $U(t)$ 에 대해 $U(t + h)$ 를 구한다는 다음과 같은 계산을 수행하는 것과 같다. $$\begin{align*} U(t + h) \approx RK4(J, U, h) =& {\frac{ h }{ 6 }} \left( V_{1} + 2 V_{2} + 2 V_{3} + V_{4} \right) \\ V_{1} =& J U \\ V_{2} =& J \left( U + {\frac{ h }{ 2 }} V_{1} \right) \\ V_{3} =& J \left( U + {\frac{ h }{ 2 }} V_{2} \right) \\ V_{4} =& J \left( U + h V_{3} \right) \end{align*}$$ 다음은 이와 같이 행렬에 대해 논의된 메서드를 구현한 줄리아 코드다.

function RK4(J::AbstractMatrix, U::AbstractMatrix, dt=1e-2)
    V1 = J*U
    V2 = J*(U + (dt/2)*V1)
    V3 = J*(U + (dt/2)*V2)
    V4 = J*(U + dt*V3)
    return U + (dt/6)*(V1 + 2V2 + 2V3 + V4)
end