📂측도론

측도론에서의 거의 균등 수렴

정의 ¹

측도 공간 $( X , \mathcal{E} , \mu)$ 가 주어져 있다고 하자.

1. 가측 함수의 시퀀스 $\left\{ f_{n} : X \to \mathbb{R} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 이 어떤 가측함수 $f : X \to \mathbb{R}$ 와 각각의 $\delta > 0$ 마다 $\mu \left( E_{\delta} \right) < \delta$ 를 만족하는 $E_{\delta} \in \mathcal{E}$ 이 존재해서 $X \setminus E_{\delta}$ 에서 $f_{n}$ 이 $f$ 로 균등 수렴하면 $f_{n}$ 이 $f$ 로 거의 균등 수렴^{almost uniformly convergent}한다고 말한다.
2. 모든 $\delta > 0$ 에 대해 $\mu \left( E_{\delta} \right) < \delta$ 를 만족하는 $E_{\delta} \in \mathcal{E}$ 이 존재해서 $X \setminus E_{\delta}$ 에서 $\left\{ f_{n} : X \to \mathbb{R} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 이 균등 수렴하면 $f_{n}$ 이 거의 균등하게 코시 시퀀스^{almost uniformly Cauchy sequence}라고 한다.

같이보기

• 거의 균등 수렴 $\implies$ 측도 수렴