📂통계적검정

일원분산분석

가설검정 ¹

실험 설계 상 $k$ 개의 처리가 있을 때, 각 처리에서 $n_{j}$ 개씩 총 $n = n_{1} + \cdots + n_{k}$ 개의 표본을 얻었다고 하자. $j = 1 , \cdots , k$ 번째 처리의 표본이 각자 독립적이고 랜덤하게 정규분포 $N \left( \mu_{j} , \sigma_{j}^{2} \right)$ 를 따르며, 각 정규분포의 모분산이 같아서 $\sigma^{2} = \sigma_{1}^{2} = \cdots = \sigma_{k}^{2}$ 라 가정하자. 집단 간의 모평균를 비교하는 분산분석인 일원분산분석^{one-way ANOVA}에서 가설검정은 다음과 같다.

• $H_{0}$: $\mu_{1} = \cdots = \mu_{k}$
• $H_{1}$: 적어도 하나의 $\mu_{j}$ 는 다른 모평균과 다르다.

검정통계량

완전랜덤화설계 하에서 아노바 테이블이 주어져 있다고 하자.

Source	df	SS	MS	F
Treatments	$k-1$	SST	MST	MST/MSE
Error	$n-k$	SSE	MSE
Total	$n-1$	TSS

검정통계량은 다음과 같다. $$ F = {\frac{ \text{MST} }{ \text{MSE} }} = {\frac{ \text{SST} / (k - 1) }{ \text{SSE} / (n - k) }} $$ 이 검정통계량은 귀무가설이 참이라는 가정 하에 자유도가 $(k-1), (n-k)$ 인 F-분포 $F \left( k - 1 , n - k \right)$ 를 따른다.

설명

처리별 평균을 $\bar{x}_{j} := \sum_{i} x_{ij} / n_{j}$ 라 하고, 전체 평균을 $\bar{x} := \sum_{ij} x_{ij} / n$ 이라 하자. $$ \begin{align*} \text{SST} =& \sum_{j=1}^{k} n_{j} \left( \bar{x}_{j} - \bar{x} \right)^{2} \\ \text{SSE} =& \left( n_{1} - 1 \right) s_{1}^{2} + \cdots + \left( n_{k} - 1 \right) s_{k}^{2} \\ \text{MST} =& {\frac{ \text{SST} }{ k - 1 }} \\ \text{MSE} =& {\frac{ \text{SSE} }{ n - k }} \\ F =& {\frac{ \text{MST} }{ \text{MSE} }} = {\frac{ \text{SST}/ (k - 1) }{ \text{SSE} / (n - k) }} \end{align*} $$ 검정통계량의 유도 그 자체는 분산분석에서의 F-검정을 참고하도록 하자.

예시

일원분산분석은 처리에 따른 모평균의 차이가 있는지 관심이 있을 때 사용한다. 한국의 K-POP 엔터사 스타쉽^STARSHIP에서 데뷔한 세 걸그룹의 신장을 데이터로써 두고 완전랜덤화설계 하에서 분석해보자. 귀무가설은 네 그룹의 평균 신장이 같다는 것이고, 대립가설은 적어도 하나의 그룹의 평균 신장이 다르다는 것이다.

• 씨스타(SISTAR): {보라: 164cm, 효린: 163cm, 소유: 168cm, 다솜: 167cm}
• 우주소녀(WJSN): {설아: 165cm, 보나: 163cm, 엑시: 166cm, 수빈: 156cm, 루다: 158cm, 다원: 167cm, 은서: 170cm, 여름: 161cm, 다영: 161cm, 연정: 166cm}
• 아이브(IVE): {유진: 173cm, 가을: 164cm, 레이: 169cm, 원영: 173cm, 리즈: 171cm, 이서: 165cm}
• 2025년 데뷔한 키키(KiiiKiii)의 신장은 공개되지 않았다.

SISTAR	WJSN	IVE
164	165	173
163	163	164
168	166	169
167	156	173
	158	171
	167	165
	170
	161
	161
	166

전체 평균신장은 165.5이고, 그룹별 평균신장은 SISTART 165.5cm, WJSN 163.3cm, IVE 169.2cm 이다.

물론 한눈에 보아도 IVE의 평균 신장이 가장 큰 것을 알 수 있지만, 이것이 통계적으로 유의한 차이인지 말하려면 아노바 테이블을 채워가며 F-검정을 해봐야 한다. 각 멤버 수의 합은 샘플 사이즈 $n = 4 + 10 + 6 = 20$ 이고, 그룹 수는 $k = 3$ 이다.

Source	df	SS	MS	F
Treatments	$2$	SST	SST/$2$	MST/MSE
Error	$17$	SSE	SSE/$17$
Total	$19$	TSS

$$ \begin{align*} \text{SST} =& 4 \cdot (165.5 - 165.5)^{2} + 10 \cdot (163.3 - 165.5)^{2} + 6 \cdot (169.2 - 165.5)^{2} &= 129.1 \\ \text{SSE} =& 3 \cdot 17 + 9 \cdot 168.1 + 5 \cdot 76.8 &= 261.9 \\ F =& {\frac{ 129.1 / 2 }{ 261.9 / 17 }} = {\frac{ 64.5 }{ 15.4 }} &= 4.19 \end{align*} $$

만약 유의수준이 $\alpha = 5 \%$ 라면 기각역의 하한은 $F_{2,17} (0.05) = 3.59$ 으로써 $F = 4.19 > 3.59 = F_{2,17} (0.05)$ 이므로 귀무가설을 기각할 수 있다. 다시 말해, 적어도 하나의 그룹은 평균 신장이 다른 그룹과 다르다.

검산

이상의 결과는 엑셀^excel을 통해서도 재현할 수 있다.

같이보기

• 분산분석의 $F$ 검정

실험설계	모수적 기법	비모수적 기법
완전랜덤화설계	일원분산분석	크루스칼-월리스 $H$ 검정
랜덤화블럭설계	이원분산분석	프리드만 $F_{r}$ 검정