📂통계적검정

정규분포를 따르는 집단의 모분산 추정

가설검정 ¹

표본의 수가 $n$ 인 모집단의 분포가 정규분포 $N \left( \mu , \sigma^{2} \right)$ 를 따른다고 하자. 모분산의 후보 $\sigma_{0}$ 에 대한 가설검정은 다음과 같다.

• $H_{0}$: $\sigma^{2} = \sigma_{0}^{2}$
• $H_{1}$: $\sigma^{2} \neq \sigma_{0}^{2}$

검정통계량

검정통계량은 표본분산 $S^{2}$ 에 대해 다음과 같다. $$\mathcal{X}^{2} = \frac{ \left( n - 1 \right) S^{2} }{ \sigma_{0}^{2} }$$ 이 검정통계량은 귀무가설이 참이라는 가정 하에 자유도가 $(n-1)$ 인 카이제곱분포를 따른다.

설명

가설은 유의수준 $\alpha$ 에 대해 $\mathcal{X}^{2}$ 이 $\chi^{2}_{1 - \alpha} (n-1)$ 과 $\chi^{2}_{\alpha} (n-1)$ 사이에 속하는지를 확인하는 양쪽꼬리검정^{two-tailed test}을 통해 이루어진다. 만약 다음과 같이 $\mathcal{X}^{2}$ 이 범위 안에 속하면 귀무가설을 기각하지 못해 모분산이 $\sigma_{0}^{2}$ 이라는 결론을 내릴 수 있다. $$\chi^{2}_{\alpha/2} (n-1) \le \mathcal{X}^{2} \le \chi^{2}_{1 - \alpha/2} (n-1)$$