📂행렬대수

행렬 랭크의 준가법성 증명 rank(A+B) ≤ rankA + rankB

정리

행렬의 랭크는 준가법성을 가진다. 다시 말해, 두 행렬 $A, B$ 에 대해 다음이 성립한다. $$ \rank \left( A + B \right) \le \rank A + \rank B $$

설명

이 정리는 코크란 정리의 증명에서 쓰인다.

증명 ¹

행공간, 열공간, 영공간에 대한 기저: (a1) 행동등인 두 행렬은 행공간이 같다. 다시 말해 기본 행 연산은 행공간을 바꾸지 않는다. (b1) 행동등인 두 행렬은 영공간이 같다. 다시 말해 기본 행 연산은 영공간을 바꾸지 않는다.

$A '$ 와 $B '$ 이 각각 가우스소거법을 통해서 얻은 $A$ 와 $B$ 의 기약 행사다리꼴이라 하자. $A '$ 는 $\rank A$ 개의 $0$ 이 아닌 행벡터를 가지고, $B '$ 는 $\rank B$ 개의 $0$ 이 아닌 행벡터를 가지므로 $A ' + B '$ 는 많아도 $\rank A$ 혹은 $\rank B$ 개의 $0$ 이 아닌 행벡터를 가진다. 가우스 소거법은 기본 행연산으로만 이루어지므로, $A + B$ 는 $A ' + B '$ 와 행동등이고 그 랭크는 다음의 부등식을 만족한다. $$ \begin{align*} & \rank \left( A + B \right) \\ =& \rank \left\{ A ' + B ' \right\} \\ =& \max \left( \rank A , \rank B \right) \\ \le & \rank A + \rank B \end{align*} $$

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