정부호 행렬 주대각성분의 성질
정리
정부호 행렬 $A = \left( a_{ij} \right) \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 가 주어져 있다고 하자.
주대각성분의 부호
$A$ 의 주대각성분 $a_{ii}$ 의 부호는 $A$ 의 부호와 같다.
- $A$ 가 양의 정부호면 $a_{ii} > 0$
- $A$ 가 양의 준정부호면 $a_{ii} \ge 0$
- $A$ 가 음의 정부호면 $a_{ii} < 0$
- $A$ 가 음의 준정부호면 $a_{ii} \le 0$
대칭 실수행렬에서 $0$ 인 주대각성분
실수로 이루어진 준정부호 행렬 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 가 대칭행렬이라고 하자. $A$ 의 주대각성분 $a_{ii}$ 가 $0$ 이면 $i$번째 행과 열은 영벡터다.
설명
이 성질은 호그-크레이그 정리의 증명에 쓰인다.
증명
일반성을 잃지 않고, $A$ 가 양의 준정부호라 가정하자.
행렬 $A$ 가 양의 준정부호라는 것은 모든 벡터 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$ 에 대해 $\mathbf{x}^{T} A \mathbf{x} \ge 0$ 이라는 것이므로 표준기저벡터 $x = \mathbf{e}_{1} , \cdots , \mathbf{e}_{n}$ 에 대해서도 이차형식이 $0$ 보다 크거나 같아야 한다는 것이다. $\mathbf{e}_{i}^{T} A \mathbf{e}_{i} \ge 0$ 이므로, $A$ 의 모든 주대각성분 $\left( A \right)_{ii}$ 역시 $0$ 보다 크거나 같아야 한다.
이제 $A$ 가 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 이면서 대칭행렬이라 가정하고, 어떤 실수 $x$ 와 인덱스 $j \ne i$ 에 대해 $\mathbf{x} := \mathbf{e}_{i} + x \mathbf{e}_{j}$ 라 두자. 만약 $a_{ii} = 0$ 가 $0$ 이라면, $\mathbf{x}^{T} A \mathbf{x} \ge 0$ 이므로 다음이 성립한다. $$ \begin{align*} & \mathbf{x}^{T} A \mathbf{x} \\ =& \left( \mathbf{e}_{i} + x \mathbf{e}_{j} \right)^{T} A \left( \mathbf{e}_{i} + x \mathbf{e}_{j} \right) \\ =& \mathbf{e}_{i}^{T} A \mathbf{e}_{i} + x \mathbf{e}_{i}^{T} A \mathbf{e}_{j} + x \mathbf{e}_{j}^{T} A \mathbf{e}_{i} + x^{2} \mathbf{e}_{j}^{T} A \mathbf{e}_{j} \\ =& a_{ii} + x a_{ij} + x a_{ji} + x^{2} a_{jj} \\ =& 2 x a_{ij} + x^{2} a_{jj} \\ \ge & 0 \end{align*} $$
근의 공식: 이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0$ (단, $a\neq 0$)에 대해 $$ x=\dfrac{ -b\pm \sqrt { b^{2}-4ac } }{2a} $$
$A$ 가 양의 준정부호 행렬이라 가정했으므로 $a_{jj} \ge 0$ 이다. $2 x a_{ij} + x^{2} a_{jj} \ge 0$ 이라는 것은 이차함수 $f(x) = a_{jj} x^{2} + 2 a_{ij} x$ 의 그래프인 아래로 볼록한 포물선이 $x$-축과 닿지 않거나 한 점에서만 만난다는 것, 다시 말해 판별식으로 보았을 때 $b^{2} - 4ac \le 0$ 이라는 것이다. $f$ 를 판별식에 대입해보면 다음과 같다. $$ \left( 2 a_{ij} \right)^{2} - 4 \cdot a_{jj} \cdot 0 \le 0 $$ 이에 따르면 $4 a_{ij}^{2} \le 0$ 를 만족하는 경우는 $a_{ij} = 0$ 뿐이다. 이는 $j$ 의 선택에 무관하게 성립하므로 $a_{i1} = \cdots = a_{in} = 0$ 이고, $A$ 는 대칭행렬이므로 $a_{1i} = \cdots = a_{ni} = 0$ 이기도 하다.
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