대칭 실수행렬의 고유값이 모두 0이거나 1이면 멱등행렬임을 증명
정리
대칭행렬 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 의 고유값이 모두 $0$ 이거나 $1$ 이면 $A$ 는 멱등행렬이다.
설명
이 보조정리는 정규분포 랜덤벡터 이차형식의 카이제곱성의 동치조건의 증명과 코크란 정리의 증명에 쓰인다.
증명
스펙트럴 이론: 만약 $A$ 가 에르미트 행렬이면, 유니터리 대각화 가능하다: $$ A = A^{\ast} \implies A = Q \Lambda Q^{\ast} $$
실수행렬 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 가 대칭행렬이면 에르미트행렬이므로 대각화가능하다. $A$ 의 고유값으로 이루어진 대각행렬 $\Lambda$ 와 유니터리행렬 $Q = Q^{\ast} = Q^{T}$ 에 대해 $A = Q \Lambda Q^{T}$ 이라 두면 다음을 얻는다. $$ A^{2} = \left( Q \Lambda Q^{T} \right) \left( Q \Lambda Q^{T} \right) = Q \Lambda^{2} Q^{T} $$ 그런데 대각행렬 $\Lambda$ 는 주대각성분으로써 $0$ 과 $1$ 만을 가지기에 $\Lambda^{2} = \Lambda$ 이고, 다음에 따라 $A$ 는 멱등행렬임을 알 수 있다. $$ A^{2} = Q \Lambda^{2} Q^{T} = Q \Lambda Q^{T} = A $$
■