📂수리통계학

랜덤벡터 이차형식으로 나타낸 편차제곱합

공식

랜덤벡터 $\mathbf{X} = \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right)$ 와 항등행렬 $I_{n} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 과 모든 성분이 $1$ 인 일행렬 $J_{n} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 에 대해 다음이 성립한다. $$\mathbf{X}^{T} \left( I_{n} - {\frac{ 1 }{ n }} J_{n} \right) \mathbf{X} = ( n - 1 ) S^{2}$$ 여기서 $S^{2}$ 는 표본분산이다.

유도

$$\begin{align*} \overline{X} =& {\frac{ 1 }{ n }} \sum_{k=1}^{n} X_{k} \\ S^{2} =& {\frac{ 1 }{ n - 1 }} \sum_{k=1}^{n} \left( X_{k} - \overline{X} \right)^{2} \end{align*}$$ 표본평균 $\overline{X}$ 과 표본분산을 위와 같이 두자. 정리에서 주어진 $\left( I_{n} - J_{n} / n \right)$ 은 대각성분이 모두 $1 - 1/n$ 이고 비대각성분이 모두 $-1/n$ 인 대칭행렬이므로 랜덤벡터 이차형식이 되어 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\mathbf{X}^{T} \left( a_{ij} \right) \mathbf{X} = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} X_{i}^{2} + \sum_{i \ne j} a_{ij} X_{i} X_{j}$$ 위 식에서 $a_{ii} = 1 - 1/n$ 과 $a_{ij} = -1/n$ 를 대입하면 다음을 얻는다. $$\begin{align*} & \mathbf{X}^{T} \left( a_{ij} \right) \mathbf{X} \\ =& \sum_{i=1}^{n} \left( 1 - {\frac{ 1 }{ n }} \right) X_{i}^{2} + \sum_{i \ne j} \left( - {\frac{ 1 }{ n }} \right) X_{i} X_{j} \\ =& \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2} - {\frac{ 1 }{ n }} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2} - {\frac{ 1 }{ n }} \sum_{i, j} X_{i} X_{j} \\ =& \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2} - {\frac{ 1 }{ n }} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2} - {\frac{ 1 }{ n }} \sum_{i, j} X_{i} X_{j} \\ =& \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2} - {\frac{ 1 }{ n }} \sum_{i=1}^{n} X_{i} \sum_{i=1}^{n} X_{i} \\ =& \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2} - n \overline{X}^{2} \\ =& ( n - 1 ) S^{2} \end{align*}$$

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