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퇴플리츠 행렬 📂행렬대수

퇴플리츠 행렬

정의

행렬 A∈Rm×nA \in \mathbb{R}^{m \times n} 의 성분 (A)ij\left( A \right)_{ij} 가 모든 i,ji, j 에 대해 (A)i,j=(A)i+1,j+1\left( A \right)_{i, j} = \left( A \right)_{i+1, j+1} 를 만족하면 AA 를 퇴플리츠 행렬Toeplitz matrix라 한다. 다시 말해, 퇴플리츠 행렬이란 다음과 같이 특정 대각선의 성분들이 모두 같은 행렬이다. A=[a0a−1a−2⋯a−n+1a1a0a−1⋯a−n+2a2a1a0⋯a−n+3⋮⋮⋮⋱⋮am−1am−2am−3⋯a0] A = \begin{bmatrix} a_{0} & a_{-1} & a_{-2} & \cdots & a_{-n+1} \\ a_{1} & a_{0} & a_{-1} & \cdots & a_{-n+2} \\ a_{2} & a_{1} & a_{0} & \cdots & a_{-n+3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m-1} & a_{m-2} & a_{m-3} & \cdots & a_{0} \end{bmatrix}

설명

퇴플리츠 행렬은 그 자체로 대각행렬의 일반화면서 삼중대각행렬로 수치해석이나 최적화에 빈번하게 등장한다.

위 예시들에서 볼 수 있듯 다음과 같이 유한 차분을 반영한 행렬은 무척 유용하다. D=[1−211−21⋱⋱⋱1−21] D = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & & & \\ & 1 & -2 & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}