📂수리통계학

랜덤벡터 이차형식

정의 ¹

랜덤벡터 $\mathbf{X} = \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right)$ 와 대칭행렬 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 에 대해 $Q = \mathbf{X}^{T} A \mathbf{X}$ 를 이차형식^{quadratic form in $\mathbf{X}$}이라 한다.

설명

이차형식은 $A = \left( a_{ij} \right)$ 이 대칭행렬이므로 다음과 같이 여러 방식으로 표현되며 많은 곳에서 유용하게 쓰인다. $$ \begin{align*} & Q \\ =& \mathbf{X}^{T} A \mathbf{X} \\ =& \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} X_{i} X_{j} \\ =& \sum_{i=1}^{n} a_{ii} X_{i}^{2} + \sum_{i \ne j} a_{ij} X_{i} X_{j} \\ =& \sum_{i=1}^{n} a_{ii} X_{i}^{2} + 2 \sum_{i > j} a_{ij} X_{i} X_{j} \end{align*} $$

랜덤벡터 이차형식에 관한 이론은 특히 F-검정 등에서 대단히 중요하다.

같이보기

• 선형대수에서의 이차형식