로렌츠 변환으로 인한 특수상대성이론의 특징: 길이 수축
📂물리학 로렌츠 변환으로 인한 특수상대성이론의 특징: 길이 수축 로렌츠 변환의 특징 특수상대성이론에서 두 좌표계 사이의 변환은 고전적인 변환 과 다르다. ‘빛의 속도는 어느 관찰자에게나 똑같다’ 라는 점 때문이다. 이러한 조건을 고려하여 유도해낸 것이 로렌츠 변환 이다. 로렌츠 변환으로 인해서 고전물리에서는 나타나지 않는 새로운 현상이 세가지 있다.
길이 수축 길이 수축은 사실 시간 지연과 별개의 것은 아니다. 본질적으로 같은 하나의 현상이다. 시간 지연은 일어 났지만 길이 수축은 일어나지 않는 그런 것은 불가능하다는 말이다. 아래의 그림을 보자
A A A A A A x x x v 0 v_{0} v 0 A ′ A^{\prime} A ′ A A A L L L A A A
그럼 이 막대를 A ′ A^{\prime} A ′
( c t ′ x ′ y ′ z ′ ) = ( γ 0 − γ 0 β 0 0 0 − γ 0 β 0 γ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) ( c t 0 0 0 ) = ( γ 0 c t − γ 0 β 0 c t 0 0 )
\begin{pmatrix}
ct^{\prime}
\\ x^{\prime}
\\ y^{\prime}
\\ z^{\prime}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\gamma_{0} & -\gamma_{0}\beta_{0} & 0 & 0
\\ -\gamma_{0}\beta_{0} & \gamma_{0} & 0 & 0
\\ 0 & 0 & 1 & 0
\\ 0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
ct
\\ 0
\\ 0
\\ 0
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
\gamma_{0}ct
\\ -\gamma_{0}\beta_{0}ct
\\ 0
\\ 0
\end{pmatrix}
c t ′ x ′ y ′ z ′ = γ 0 − γ 0 β 0 0 0 − γ 0 β 0 γ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 c t 0 0 0 = γ 0 c t − γ 0 β 0 c t 0 0
그러면 c t ′ = γ 0 c t ct^{\prime}= \gamma_{0}ct c t ′ = γ 0 c t x ′ = − γ 0 β 0 c t x^{\prime}=-\gamma_{0}\beta_{0}ct x ′ = − γ 0 β 0 c t x ′ = − β 0 c t ′ x^{\prime}=-\beta_{0}ct^{\prime} x ′ = − β 0 c t ′
( c t ′ x ′ y ′ z ′ ) = ( γ 0 − γ 0 β 0 0 0 − γ 0 β 0 γ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) ( c t L 0 0 ) = ( γ 0 c t − γ 0 β 0 L − γ 0 β 0 c t + γ 0 L 0 0 )
\begin{pmatrix}
ct^{\prime}
\\ x^{\prime}
\\ y^{\prime}
\\ z^{\prime}
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
\displaystyle \gamma_{0} & -\gamma_{0}\beta_{0} & 0 & 0
\\ -\gamma_{0}\beta_{0} & \gamma_{0} & 0 & 0
\\ 0 & 0 & 1 & 0
\\ 0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
ct
\\ L
\\ 0
\\ 0
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
\gamma_{0}ct-\gamma_{0}\beta_{0}L
\\ -\gamma_{0}\beta_{0}ct+\gamma_{0}L
\\ 0
\\ 0
\end{pmatrix}
c t ′ x ′ y ′ z ′ = γ 0 − γ 0 β 0 0 0 − γ 0 β 0 γ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 c t L 0 0 = γ 0 c t − γ 0 β 0 L − γ 0 β 0 c t + γ 0 L 0 0
따라서
c t ′ = γ 0 c t − γ 0 β 0 L ⟹ γ 0 c t = − c t ′ − γ 0 β 0 L
ct^{\prime}=\gamma_{0}ct-\gamma_{0}\beta_{0}L \implies \gamma_{0}ct=-ct^{\prime}-\gamma_{0}\beta_{0}L
c t ′ = γ 0 c t − γ 0 β 0 L ⟹ γ 0 c t = − c t ′ − γ 0 β 0 L
이고, x ′ = − γ 0 β 0 c t + γ 0 L x^{\prime}= -\gamma_{0}\beta_{0}ct+\gamma_{0}L x ′ = − γ 0 β 0 c t + γ 0 L
x ′ − γ 0 L = β 0 [ c t ′ + γ 0 β 0 L ]
x^{\prime}-\gamma_{0} L= \beta_{0} \left[ ct^{\prime} + \gamma_{0}\beta_{0} L \right]
x ′ − γ 0 L = β 0 [ c t ′ + γ 0 β 0 L ]
x ′ x^{\prime} x ′ γ 0 L \gamma_{0}L γ 0 L c t ′ ct^{\prime} c t ′ − γ 0 β 0 L -\gamma_{0}\beta_{0}L − γ 0 β 0 L
로렌츠 변환에 의해서 시간지연이 발생하고 그 시간 차이 때문에 관측되는 길이도 달라진다고 생각하면 이해가 쉬울 것이다.
마지막으로 길이 수축에 의해 변화된 길이는 원래의 길이와 어떤 관계가 있는지 살펴보자. 그림을 보면 x ′ − γ 0 L = − β 0 [ c t ′ − ( − γ 0 β 0 L ) ] x^{\prime}-\gamma_{0}L= -\beta_{0} \left[ ct^{\prime}-(-\gamma_{0}\beta_{0}L) \right] x ′ − γ 0 L = − β 0 [ c t ′ − ( − γ 0 β 0 L ) ] c t ′ = 0 ct^{\prime}=0 c t ′ = 0 x ′ = L ′ x^{\prime}=L^{\prime} x ′ = L ′ c t ′ = 0 ct^{\prime}=0 c t ′ = 0
x ′ = γ 0 L − γ 0 β 0 2 L = γ 0 ( 1 − β 0 2 ) L
x^{\prime}=\gamma_{0}L-\gamma_{0}{\beta_{0}}^2L=\gamma_{0}(1-{\beta_{0}}^2)L
x ′ = γ 0 L − γ 0 β 0 2 L = γ 0 ( 1 − β 0 2 ) L
이 때 다음의 식이 성립한다.
γ 0 = 1 1 − β 0 2 ⟹ ( 1 − β 0 2 ) = 1 γ 0 2
\gamma_{0}=\dfrac{1}{\sqrt{1-{\beta_{0}}^2}} \implies (1-{\beta_{0}}^2)=\dfrac{1}{{\gamma_{0}}^2}
γ 0 = 1 − β 0 2 1 ⟹ ( 1 − β 0 2 ) = γ 0 2 1
따라서 다음과 같다.
x ′ = 1 γ 0 L = L ′
x^{\prime}=\frac{1}{\gamma_{0}}L=L^{\prime}
x ′ = γ 0 1 L = L ′
그런데 L ′ = L γ 0 L^{\prime} = \dfrac{L}{\gamma_{0}} L ′ = γ 0 L γ 0 ≥ 1 \gamma_{0} \ge 1 γ 0 ≥ 1 L ′ ≤ L L^{\prime} \le L L ′ ≤ L A ′ A^{\prime} A ′
