📂함수

감마함수의 단순극

정리

복소함수로써의 감마함수 $\Gamma$ 의 정의역은 다음과 같다. $$\mathbb{C} \setminus \left( \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N} \right) = \mathbb{C} \setminus \left\{ 0 , -1, -2, \cdots \right\}$$ 그 뿐만 아니라, $\Gamma$ 의 특이점의 집합 $\left( \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N} \right)$ 은 단순극의 집합이다.

• $\mathbb{N}$ 은 자연수의 집합, $\mathbb{Z}$ 은 정수의 집합, $\mathbb{C}$ 는 복소수의 집합을 나타낸다.

설명

시각화

위의 그림은 실수축에서 감마 함수의 실수부만을 그래프로 그려낸 것이고, 양이 아닌 정수들에서는 함수값이 발산하는 것을 확인할 수 있다.

코드

다음은 시각화를 위한 줄리아 코드다.

using SpecialFunctions, LaTeXStrings

z = -5:0.001:5
Γz = gamma.(Complex.(z))
plot(z, real.(Γz), lw = 2, color = :black, xticks = -5:1:5,
    xlims = [-5, 5], ylims = [-5, 5], size = [400, 400])
hline!([0], color = :black)
vline!(-5:0, style = :dash, color = :red)
xlabel!(L"\re(z)")
ylabel!(L"\re(\Gamma (z))")

증명

오일러 반사 공식: $${\Gamma (1-p) \Gamma ( p )} = { {\pi} \over {\sin \pi p } }$$

$\re (z) > 0$ 에서 감마함수 $\Gamma (z) = \int_{0}^{\infty} t^{z-1} e^{t} dt$ 는 $0$ 이 아닌 값으로 잘 정의된다. 오일러 반사공식의 양변에서 $\Gamma (z)$ 를 나누면 다음과 같다. $$\Gamma (1-z) = {\frac{ \pi }{ \Gamma (z) \sin \pi z }}$$ $z = 1$ 을 대입하면 $$\Gamma (0) = \Gamma (1-1) = {\frac{ \pi }{ \Gamma (1) \cdot \sin 0 \pi }} = {\frac{ \pi }{ 0! \cdot 0 }} = \infty$$ 이고, $z = 2$ 을 대입하면 $$\Gamma (-1) = \Gamma (1-2) = {\frac{ \pi }{ \Gamma (2) \cdot \sin 1 \pi }} = {\frac{ \pi }{ 1! \cdot 0 }} = \infty$$ 이다. 이러한 발산은 모든 $z \in \left\{ 0, 1, 2, \dots \right\}$ 에서 같으므로 $\Gamma$ 는 모든 양이 아닌 정수에서 특이점을 가지고, 그 모든 특이점들은 분모에 $\sin \pi z$ 하나가 있을 뿐이므로 단순극이다.

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