볼록 함수, 오목 함수
정의
구간 $I \subset \mathbb{R}$ 의 두 원소 $x_{1} , x_{2}$ 와 함수 $f : I \to \mathbb{R}$ 와 $0 \le t \le 1$ 에 대해,
- $f( t x_{1} + (1-t) x_{2}) \le t f(x_{1}) + (1-t) f(x_{2})$ 일 때, $f$ 는 $I$ 에서의 볼록 함수로 정의한다.
- $f( t x_{1} + (1-t) x_{2}) \ge t f(x_{1}) + (1-t) f(x_{2})$ 일 때, $f$ 는 $I$ 에서의 오목 함수로 정의한다.
설명
볼록이나 오목은 위로 볼록이냐, 아래로 오목이냐 식의 헷갈리는 말들이 너무 많기 때문에 컨벡스(볼록)convex와 컨케이브(오목)concave를 영어표현 그대로 쓰려고 한다. 그래프의 모양과 컨벡스, 컨케이브를 대응시켜서 기억하는 걸 강력 추천한다. 수식만 보아선 언뜻 생소한 정의처럼 느껴지지만 내분의 개념을 생각해보면 상당히 상식적인 정의로 받아들일 수 있을 것이다. 직관적으로 어렵지 않은 개념이기 때문에 수식적인 전개나 설명이 필요 없다면 굳이 정의를 외우고 있을 필요도 없다. 보통은 중학교의 이차함수부터 시작해서 이계도함수의 부호 등 지겹도록 보다보니 그 성질 또한 친숙할 것이다.
솔직히 말해서
솔직히 까놓고 말해서 컨케이브도 안 쓰이고 그냥 컨벡스만 쓴다고 보면 된다.
이계도함수
볼록함수의 이계도함수: $f$ 가 $I$ 에서 두 번 미분가능하다고 하자. $f$ 가 $I$ 에서 컨벡스한 것과 $f '' (x) \ge 0$은 필요충분조건이다.
여기서 두 번 미분가능이라는 조건이 추가된 것에 주목해보자. 보통 예시로써 $y = x^2$ 나 $y = \ln {x}$ 와 같은 곡선이 사용되기 때문에 잘 모르고 지나치기 쉬운데, 우리가 다시금 정의한 볼록함수에서 ‘연속’은 언급조차 없었음을 알 수 있다.