감마함수의 1에서의 미분계수
정리
감마함수 $\Gamma$ 과 오일러-마스케로니 상수 $\gamma$ 대해 다음이 성립한다. $$ \Gamma ' (1) = - \gamma $$
증명 1
감마함수의 도함수와 역수의 곱: $$ {{ \Gamma ' (z) } \over { \Gamma (z) }} = - \gamma + \sum_{n=1}^{\infty} \left( {{ 1 } \over { n }} - {{ 1 } \over { z + n - 1 }} \right) $$
감마함수의 도함수와 역수의 곱꼴에서 $z = 1$ 을 대입하면 $$ \begin{align*} {{ \Gamma ' (1) } \over { \Gamma (1) }} =& - \gamma + \sum_{n=1}^{\infty} \left( {{ 1 } \over { n }} - {{ 1 } \over { 1 + n - 1 }} \right) \\ =& - \gamma + \sum_{n=1}^{\infty} \left( {{ 1 } \over { n }} - {{ 1 } \over { n }} \right) \\ =& - \gamma + 0 \end{align*} $$ 이고, $\Gamma (1) = 0! = 1$ 이므로 $\Gamma ' (1) = - \gamma$ 를 얻는다.
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