📂동역학

피치포크 바이퍼케이션

정의 ^{1 2}

피치포크 바이퍼케이션^{pitchfork bifurcation}은 동역학계의 파라미터 변화에 따라 고정점의 안정성이 반전되며 새로운 두 개의 고정점이 나타나거나 사라지는 바이퍼케이션이다.

노멀 폼

피치포크 바이퍼케이션은 슈퍼크리티컬^{supercritical}과 서브크리티컬^subcritical의 두 가지 타입으로 나뉘며, 다음의 노멀 폼을 가진다:

• Supercritical: $$\dot{x} = rx - x^{3}$$
• Subcritical: $$\dot{x} = rx + x^{3}$$

다이어그램

피치포크 바이퍼케이션의 바이퍼케이션 다이어그램은 다음과 같다:

• Supercritical:
• Subcritical:

설명

피치포크는 쇠스랑으로 순화되는 농기구다. 생긴 모양에서 바로 알 수 있듯 하나의 고정점이 세 개로 늘어나며 갈라지는 모습 때문에 붙은 이름이며, 바이퍼케이션의 교과서적인 예시로써 가장 먼저 언급된다.

형식적 정의 ³

노멀 폼이 아닌 벡터필드 $$ \dot{x} = f \left( x, \mu \right) \qquad x, \mu \in \mathbb{R}^{1} $$ 가 $\left( x, \mu \right) = (0,0)$ 에서 피치포크 바이퍼케이션을 겪는다는 것은 $x = 0$ 이 넌하이퍼볼릭^{nonhyperbolic}한 고정점이면서 다음 네 가지 조건을 만족시킨다는 것이다. $$ \begin{align*} {{ \partial f } \over { \partial \mu }} (0,0) =& 0 \\ {{ \partial^{2} f } \over { \partial x^{2} }} (0,0) =& 0 \\ {{ \partial^{2} f } \over { \partial x \partial \mu }} (0,0) \ne& 0 \\ {{ \partial^{3} f } \over { \partial x^{3} }} (0,0) \ne& 0 \end{align*} $$ 특히 마지막 조건에서 ${{ \partial^{3} f } \over { \partial x^{3} }} (0,0) < 0$ 이면 슈퍼크리티컬, ${{ \partial^{3} f } \over { \partial x^{3} }} (0,0) > 0$ 이면 서브크리티컬이다. 한편 $x=0$ 이 넌하퍼볼릭한 고정점이라는 것은 다음의 충분조건을 가진다. 반드시 $f_{x} (0,0) = 0$ 일 필요는 없지만, 훨씬 간단하다. $$ \begin{align*} f(0,0) =& 0 \\ {{ \partial f } \over { \partial x }} (0,0) =& 0 \end{align*} $$