📂동역학

동역학에서 벡터필드의 노멀 폼

정의

$p(x;r)$ 가 어떤 다항함수라 하자. $$ \dot{x} = p(x; r) $$ 동역학계의 성질을 설명하기 위해 위와 같이 간략화된 벡터필드를 노멀 폼^{normal form}이라 한다.

설명

동역학을 공부할 때, 이를테면 카오스, 바이퍼케이션, 프랙털 등에 대해 공부하면서 난처한 것 중 하나는 수학적 엄밀함과 일반성이 부족한 것처럼 느껴진다는 것이다. 그게 공부하는 자신이 배운 게 없어서 그렇게 보일 뿐인지, 실제로 그런 모호함이 있는지랑은 별개로 ‘예제’ 위주로 ‘현상’부터 익혀나간다는 점이 적잖이 당황스러울 수 있다. 보통 수학책이라면 정의부터 나오고, 관련된 정리가 나오고, 그 증명을 보고, 예제를 보고, 연습 문제를 풀어보는 식인데 그 순서가 엉켜있어 당황스럽게 느껴진다.

노멀 폼은 결코 어렵지도 않고, 목적에 따르면 사실 일련의 탐구를 쉽게 만들어주는 요소임에도 ‘공부를 하는 입장’에서는 오히려 위에서 언급한 혼란을 가중시키는 원인 중 하나다.

예시 ¹

$$ \dot{x} = r - x^{2} $$ 예로써 새들-노드 바이퍼케이션에 대해서 설명할 때는 위와 같은 미분방정식으로 설명하곤 한다. 벡터필드 자체가 변하는 것은 $r = 0$ 의 근방에서 일어나는 일로써, $r > 0$ 일 때는 두 개의 고정점 $x = \pm \sqrt{r}$ 이 존재하고 $r = 0$ 일 때는 $x = 0$ 하나 뿐이고 $r < 0$ 일 때는 존재하지 않는다. 명백하게 $r = 0$ 은 바이퍼케이션 포인트고, 이렇게 두 개의 고정점이 새들 노드가 되었다가 사라지는 현상을 ‘새들-노드 바이퍼케이션’이라 부르는 것 자체는 좋다. 그런데 이것은 새들-노드 바이퍼케이션를 설명하는 한가지 예시일 뿐, $\dot{x} = r - x^{2}$ 자체가 그 모든 것이 아니기 때문에 ‘수학적인 직관’과 정면충돌한다. 수학도라면 누구나 새들-노드 바이퍼케이션를 명확하게 정의하고 그 일반화된 꼴에 대해 알아보고 싶을텐데, 보통은 계속해서 다음의 예시들이 쏟아지며 이에 대한 설명을 넘겨버린다.

그런데 여기 또 다른 새들-노드 바이퍼케이션의 예가 있다. $$ \dot{x} = (r-x) - e^{-x} $$ 기하적으로 보았을 때, 시스템의 우변은 직선 $\dot{x} = r-x$ 과 지수함수의 커브 $\dot{x} = e^{-x}$ 의 합으로 나타난다. 이들이 몇 개의 점에서 만나느냐에 따라 고정점의 수가 달라진다. 이 시스템은 수식적인 모양은 조금 달라도 앞서 설명한 새들-노드 바이퍼케이션을 보여주고 있다. 적어도 바이퍼케이션의 측면에서 이 시스템은 $\dot{x} = r - x^{2}$ 과 크게 다를 바가 없고, 이는 실제로 $x = 0$ 의 근방에서 $e^{-x}$ 의 테일러 전개를 생각해 보았을 때 $$ \begin{align*} \dot{x} =& r - x - e^{-x} \\ =& r - x - \left( 1 - x + {{ x^{2} } \over { 2 }} + \cdots \right) \\ =& (r - 1) - {{ x^{2} } \over { 2 }} + O \left( x^{3} \right) \end{align*} $$

와 같이 나타낼 수 있다. 이렇듯 $\dot{x} = (r-x) - e^{-x}$ 와 같이 새들-노드 바이퍼케이션의 예시가 얼마나 있든 가장 간단한 꼴로 나타낸 것을 바이퍼케이션에 대한 노멀 폼^{normal form for bifurcation}이라 하고, 이 때 우리는 $\dot{x} = r - x^{2}$ 을 그저 단 하나의 예시로 보는 것이 아닌 것이다.

같이보기

• 행렬의 스미스 노멀 폼