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동역학에서의 바이퍼케이션 📂동역학

동역학에서의 바이퍼케이션

정의 1 2

동역학계에서 파라미터들의 변화 하에서 페이즈 포트레이트의 위상적 불일치topological nonequivalent가 나타나는 것을 바이퍼케이션bifurcation이라 한다. 파라미터 공간parameter space에서 시스템의 위상적 타입이 변하는 점, 즉 바이퍼케이션이 일어나는 점을 바이퍼케이션 포인트bifurcation point라 한다.

로컬과 글로벌 3

고정점의 어떤 작은 근방을 보고도 탐지할 수 있는 바이퍼케이션은 로컬local하다고 말한다. 반면 고정점이나 사이클의 작은 근방을 보는 것만으로는 탐지할 수 없는 바이퍼케이션을 글로벌global하다고 말한다.

설명

보통 바이퍼케이션이라는 개념은 ‘이해하는’ 게 아니라 ‘받아들이게’ 되는데, 아무래도 직관적으로 무슨 말인지는 알기 쉽지만 그것을 수학적인 스테이트먼트로 나타내는 것은 쉽지 않기 때문이다. 위에서 소개한 정의는 비교적 수학스럽긴 하나, 위상적 불일치가 ‘나타나는’ 것이라는 설명에서 ‘나타난다’는 표현은 여전히 자연어에 기대고 있다.

비선형 동역학의 관심사는 보통 시스템에 대한 분석이고, 시간의 흐름에 따라서 미래가 어떻게 될지 예측할 수 있는지가 자연스러운 질문이 된다. 그 시스템이 현실을 잘 반영하고 있다면 동역학적인 분석만으로도 실용적인 쓰임새가 생기는 것이다. 한편 주어진 시스템의 트래젝터리trajectory를 보고 스테이트state가 어떻게 변하는지가 궁금했던 것이라면, 바이퍼케이션을 본다는 것은 시스템 자체가 어떻게 변하는지에 관심을 두는 것이다. 적어도 한 차원 높은 곳에서 시스템의 집합을 다루는 것이고, 다이내믹스의 세계에선 너무나 당연하게 알고 있어야하는 지식들이다.

직관적인 예시

수학적으로 엄청 와닿는 예시는 아니겠지만 바이퍼케이션이라는 게 어떻게 관심을 받을 수 있는지 예시를 통해 이해해보자.

위의 그림은 아래로 중력이 작용하고 x축과 z축 뿐인 2차원 공간에서 기둥 위에 추를 얹어놓은 것을 묘사하고 있다. 추의 무게가 가벼우면야 기둥은 아무 문제 없이 잘 버티겠지만, 감당하기 어려울 정도로 추가 무거워지면 기둥이 휘어지게 된다고 하자. 그림에서 빨간색 표식은 왼쪽으로 조금 움직였지만, 사실은 오른쪽으로 휘어도 전혀 상관 없고 도식으로 그리면 다음과 같다.

이 도식에서는 무게가 가벼울 때 표식의 위치가 올곧게 유지되지만, 파란색 선을 넘길 정도로 추가 무거워지면 좌측 혹은 우측으로 휘는 것을 표현하고 있다. 이론적으로 완벽하게 어느 한 쪽으로도 치우치지 않았다면 휘지 않을 수도 있겠지만, 아주 약간의… $\varepsilon \approx 0$ 만큼의 차이라도 생기면 중심에서 이탈할 것이다. 이러한 의미에서 표식의 위치는 가벼울 때 하나의 안정적인 고정점을 가지다가, 파란색 선을 넘기면서 그 고정점이 불안정하게 변하고 두 개의 안정적인 고정점 두 개가 생겨나는 것이다. ‘추의 무게’라는 파라미터의 변화에서 위상적 불일치가 나타났으니(벡터필드가 달라졌으니) 이는 바이퍼케이션이고, 파란색 선은 바이퍼케이션 포인트에 해당한다. 이렇게 그리는 도식을 바이퍼케이션 다이어그램이라고 한다.

이러한 예시에서 벗어나, 기둥이 받치는 것이 도로road… 즉 다리bridge의 모델링이라고 생각해보면 바이퍼케이션을 보는 이유가 단박에 납득될 것이다. 바이퍼케이션에는 엄청나게 다양한 예가 있으며, 꼭 이렇게 물리적인 문제가 아니라도 감염병 모델의 기초감염재생산수 같은 임계점critical point, 역치threshold 등에 대한 탐구를 훨씬 큰 범위로 확장하는 것으로 볼 수 있다.

종류

바이퍼케이션은 많은 학자들의 관심을 받은만큼 정말 많은 종류가 발견되었다. 그 중 몇가지 유명한 것들로는 다음과 같은 것들이 있다.

로컬 바이퍼케이션

글로벌 바이퍼케이션

  1. Kuznetsov. (1998). Elements of Applied Bifurcation Theory(2nd Edition): p57. ↩︎

  2. Strogatz. (2015). Nonlinear Dynamics And Chaos: With Applications To Physics, Biology, Chemistry, And Engineering(2nd Edition): p43. ↩︎

  3. Kuznetsov. (1998). Elements of Applied Bifurcation Theory(2nd Edition): p58. ↩︎